exam2012answers, Teoria podejmowania decyzji, Lewandowski, lewy

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
//-->First name  Decision Theory Final Exam Last name  I term: 06.06.2012 (09:50) ID number  Instructor: M. Lewandowski, PhD   Problem 1 [10p] Consider the probability density functions of the following six lotteries l1‐l6: PDF l1 l2 l3 l4 l5 l6 ‐2,00 0,00 0,10 0,00 0,50 0,50 0,00 0,00 0,50 0,00 0,50 0,00 0,00 0,90 3,00 0,00 0,90 0,50 0,00 0,50 0,00 5,00 0,50 0,00 0,00 0,50 0,00 0,10  a) [4p] Fill in the following table (FOSD – first order stochastically dominates, SOSD – second order stochastically dominates)  l1 FOSD   l3, l4, l5, l6 l1 SOSD   l3, l4, l5, l6 l2 FOSD  l5 l2 SOSD  l4, l5 l3 FOSD  l5 l3 SOSD  l4, l5, l6 l4 FOSD  l5 l4 SOSD  l5 l5 FOSD   l5 SOSD   l6 FOSD   l6 SOSD    CDF l1 l2 l3 l4 l5 l6 ‐2,00 0,00 0,10 0,00 0,50 0,50 0,00 0,00 0,50 0,10 0,50 0,50 0,50 0,90 3,00 0,50 1,00 1,00 0,50 1,00 0,90 5,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 FOSD l3,l4,l5,l6 l5 l5 l5    integral CDF l1 l2 l3 l4 l5 l6 ‐2,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,20 0,00 1,00 1,00 0,00 3,00 1,50 0,50 1,50 2,50 2,50 2,70 5,00 2,50 2,50 3,50 3,50 4,50 4,50 SOSD l3,l4,l5,l6 l4,l5 l4,l5,l6 l5    For l1 a graphical illustration: 1.0 0.5 0.0 ‐3  ‐2  ‐1  0  1  2  3  4  5  6 3.5 1.5 ‐3  ‐2  ‐0.5  0  1  2  3  4  5  6 ‐1 CDF 1.0 0.5 CDF 0.0 ‐3  ‐2  ‐1  0  1  2  3  4  5  6 3.5 1.5 Integral  from CDF 3,5*0,5=1,75 Integral  from CDF  5*0,5+0,5*1=3=1,8 ‐3  ‐2  ‐0.5  0  1  2  3  4  5  6 ‐1   First name  Decision Theory Final Exam Last name  I term: 06.06.2012 (09:50) ID number  Instructor: M. Lewandowski, PhD   b) [2p] Consider the orders (ranking) based on FOSD [we say that x is on a higher position than y if x FOSD y]. Fill in the following table (YES/NO):  Order based on FOSD is transitive  YES Order based on FOSD is complete  NO Order based on SOSD is transitive  YES Order based on SOSD is complete  NO  c) [3p] Calculate standard deviations and riskiness measures for lotteries l4 and l5 [riskiness measure R is defined as a non‐trivial zero of a function E log(R+li)‐log(R)=0, where li is a given lottery]   l4 l5 Standard deviation 3,5 2,5 Riskiness measure 10/3 6  d) [1p] Suppose you have to pay a price of 2/3 for lottery l4 and you are offered lottery l5 free of charge. Which option l5 or l4–2/3   has higher riskiness?   l4‐2/3 l5 Riskiness measure 6,93 6  Problem 2 [8p] Consider the following problem under uncertainty:  CRISIS NO CRISIS  SAFE   0 2  MEDIUM ‐3 6   RISKY ‐6 10   a) [2p] What is the optimal (pure) strategy (S, M, R) according to the following criteria:   Strategy  Value of a criterion Maximin S 0 Maximax R 10 Hurwicz (α=0,5) R 2 Laplace  R 2 Minimax regret M 4  b) [4p]  Suppose  now  that  the  decision  maker  can  choose  a  mixed  strategy  (Safe  with probability p1, Medium with probability p2, Risky with probability p3). Which strategy is now optimal using the following criteria:   p1 p2 p3 Value of a criterion Maximin 1 0 0 0 Laplace 0 0 1 2 !!!Minimax regret option 1 0   3! !! First name Last name ID number     Minimax regret option 2  ! !Decision Theory Final Exam I term: 06.06.2012 (09:50) Instructor: M. Lewandowski, PhD  0 ! ! [Tip  for  minimax  regret:  min  max  (regret  in  state  1,  regret  in  state  2);  in  both  states  regrets should be equal]  [1p]  Can  maximin  ever  be  better  when  considering  mixed  strategies  as  compared  to considering only pure strategies?   YES / NO   In our case the possibility of a mixed strategy does not improve maximin as compared to the situation where only pure strategies are allowed, because the minima of all the strategies (SAFE, MEDIUM  and  RISKY)  occur  in  one  column  “CRISIS”.  It  will  change  however  if  we  introduce another strategy HEDGE, for which the minimum is in the other column (“NO CRISIS”) than the minima of all the other strategies: CRISIS NO CRISIS  SAFE 0 2 MEDIUM ‐3 6 RISKY ‐6 10 HEDGE 5 ‐5  Notice  that  the  value  of  a  maximin  in  pure  strategies  is  equal  to  0  and  is  achieved  for  SAFE strategy. !!Now consider mixing strategies SAFE and HEDGE – let’s take  !×SAFE+!×HEDGE. Expected payoff of this mixed strategy is equal to ! no matter whether CRISIS or NO CRISIS occurs.   CRISIS NO CRISIS !!!!×SAFE+ !×HEDGE   !!! !The  minimum  of  these  two  payoffs  is !,  which  is  better  than  maximin  in  pure  strategies  (0). Hence mixed strategies may improve maximin criterion.  [1p] Can Laplace ever be better when considering mixed strategies as compared to considering only pure strategies?    YES / NO  Consider the same problem as above with an additional strategy HEDGE:  CRISIS NO CRISIS EV SAFE  0 2 1 MEDIUM ‐3 6 1,5 RISKY ‐6 10 2 HEDGE 5 ‐5 0  We have listed Expected Value of each of the strategies (probability of CRISIS and NO CRISIS is assumed to be one half in Laplace criterion due to the principle of insufficient reason – we don’t know  anything  about  the  probabilities  so  we  assume  symmetry)  in  the  column  on  the  right. Notice that RISKY strategy is the best. Consider now mixed strategies of the form p!×SAFE+ !3! !First name  Decision Theory Final Exam Last name  I term: 06.06.2012 (09:50) ID number  Instructor: M. Lewandowski, PhD   p!×MEDIUM+p!×RISKY+p!×HEDGE, where p!≥0, and !p!=1. Expected Value of such !!!mixed strategy where CRISIS and NO CRISIS has probability one half is:  EVMIXED=p!×EVSAFE+p!×EVMEDIUM+p!×EVRISKY+p!×EVHEDGE= =p!×1+p!×1,5+p!×2+p!×0  And  this  expression  will  never  be  greater  than  2  which  is  equal  to  EV(RISKY).  Hence introducing  mixed  strategies  cannot  improve  Laplace  criterion  compared  to  the  situation where only pure strategies are allowed.   Problem 3 [5p] Consider a choice function which satisfies property alpha, beta and gamma. Fill in the following tables (if you answer YES, then write by which single property you include it in the chosen set; if you answer NO, then also write by which single property you don’t include it in the chosen set):  Menu 1 a b d Chosen (YES/NO) YES NO NO  Menu 2 a c Chosen (YES/NO) YES YES  Menu 3 a b c d   Chosen (YES/NO) YES NO YES NO  By which property  gamma alpha– beta+ alpha–  Menu 4 d c  Chosen (YES/NO) NO YES  By which property beta– alpha+   For educational purposes, we decompose properties alpha and beta into positive and negative versions (alpha+, beta+, alpha–, beta–, respectively). Positive version corresponds to the logical sentence p⇒q, where  p  and  q  are  positive  sentences  (e.g.  x  is  chosen  from  set  A),  whereas negative  version  corresponds  to  the  logical  sentence ¬q⇒¬p, where  p  and  q  are  positive sentences  and  hence ¬p and ¬q are  negative  sentences  (e.g.  x  is  not  chosen  from  A).  Both positive and negative versions are equivalent in logical sense.   Property  alpha+  (positive  version):  if  x  is  chosen  from  a  bigger  set,  it  must  be  chosen  from  a smaller set as well. Property alpha– (negative version): if x was not chosen from a smaller set, it must not be chosen from a bigger set. Property beta+ (positive version): if x and y are chosen from a smaller set and x is chosen from a bigger set, then y must be chosen from the bigger set as well. Property beta– (negative version): if x was chosen and y was not chosen from a bigger set, then if x is chosen from a smaller set, then y must not be chosen from the smaller set.   Problem 4 [3p] Consider a choice function which satisfies property alpha and beta. Fill in the following tables (If  you  answer  YES,  then  write  by  which  single  or  double  (remember  WARP  is  equivalent  to  First name  Decision Theory Final Exam Last name  I term: 06.06.2012 (09:50) ID number  Instructor: M. Lewandowski, PhD   BOTH  alpha  and  beta)  property  you  include  it  in  the  chosen  set.  If  you  answer  NO,  then  also write by which single or double property you don’t include it in the choice set):  Menu 1 b d  Chosen (YES/NO) YES NO   Menu 2 b c  Chosen (YES/NO) YES NO   Menu 3 a b d  Chosen (YES/NO) YES YES NO  By which property X alpha & beta alpha   Menu 4 a b c  Chosen (YES/NO) YES YES NO  By which property  alpha & beta X alpha   WARP is equivalent to alpha & beta taken together and it says: if x and y are both in set A and set B, and if x is chosen from A and y is chosen from B, then y must be chosen from A and x must be chosen from B.   Problem 5 [4p] A preference relation R defined on a finite set of objects (fruits) is complete and transitive. A utility function values u for a couple of objects is given below (function u represents preference relation R). Which of the following alternative utility functions u’, u’’ or u’’’ represent the same preferences R?   apple orange banana lemon YES/NO u 1 3 2 4 X u’ ‐2 ‐0.31 ‐0.33 10 YES u’’ ‐0.5 4.5 2 7 YES u’’’ 100 ‐20 1 0 NO   A binary preference relation is complete and transitive if and only if it may be represented by an  ordinal  utility  function  which  is  unique  up  to  any  increasing  transformation.  Hence  any function  that  assigns  numbers  to  alternatives  in  the  same  order  as  u  represents  the  same ordinal preferences.     Consider now a preference relation R’ defined on a finite set of lotteries. Preference relation R’ is complete, transitive, and additionally satisfies continuity and independence (expected utility axioms).  A  utility  function  values  v  for  a  couple  of  lotteries  is  given  below  (function  v represents preference relation R’) Which of the following alternative utility functions v’, v’’, v’’’ represent the same preferences R’?   l1 l2 l3 l4 YES/NO v 0.1 0.3 0.2 0.4 X v’ ‐2 ‐0.31 ‐0.33 10 NO v’’ ‐0.5 4.5 2 7 YES v’’’ 100 ‐20 1 0 NO   [ Pobierz całość w formacie PDF ]

  • zanotowane.pl
  • doc.pisz.pl
  • pdf.pisz.pl
  • materaceopole.pev.pl






  • Formularz

    POst

    Post*

    **Add some explanations if needed