energia, Studia Budownictwo, Wytrzymałość materiałów, Wykłady Semestr 2
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
ENERGIA SPRĘŻYSTA
1
1. BILANS ENERGETYCZNY
1.1. PODSTAWOWE POJĘCIA
•
Układ fizyczny
- ciało (lub układ ciał) złożone z punktów materialnych
•
Otoczenie
- obszar otaczający układ fizyczny
•
Zmienne stanu termodynamicznego
- parametry charakteryzujące stan układu i otoczenia
parametry zewnętrzne
(odnoszące się do otoczenia) - obciążenia, temperatura, wilgotność, ...
parametry wewnętrzne
(odnoszące się do układu) – naprężenia, odkształcenia, przemieszczenia,
uszkodzenia, gęstość,...
•
Równanie stanu
- funkcja, której zmiennymi są zmienne stanu
•
Proces termodynamiczny
– przejście od jednego stanu układu do drugiego w sposób odwracalny
(tzn. taki, który pozwala przywrócić stan początkowy układu i otoczenia) lub nieodwracalny
•
Równowaga termodynamiczna układu
– stan układu, w którym parametry stanu nie zależą od
czasu. Oznacza ona równowagę :
mechaniczną
(brak niezrównoważonych sił)
chemiczna
(zachowana jest stała masa i skład chemiczny)
cieplna
(zależna od typu osłony oddzielającej układ od otoczenia np. adiabatycznej)
•
Proces adiabatyczny
– proces, w którym nie zachodzi wymiana ciepła między ciałem i jego
otoczeniem, zaś praca sił zewnętrznych L przy przejściu od jednego stanu do drugiego nie zależy od
sposobu przejścia. To oznacza, że istnieje funkcja stanu W nosząca nazwę energii wewnętrznej
układu, której przyrost w czasie jest równy pracy dostarczonej układowi w tym czasie.
1.2. PIERWSZA ZASADA TERMODYNAMIKI
Zgodnie z zasadą zachowania energii, bilans energetyczny dla ciała poddanego działaniu dowolnego
obciążenia, w warunkach procesu adiabatycznego, można zapisać w postaci równania:
&
=
(1)
Prędkość zmian energii wewnętrznej układu
W
&
w jednostce czasu jest równa pracy
L
&
wykonanej
przez obciążenie zewnętrzne w tej jednostce (czyli mocy obciążenia zewnętrznego).
W
&
Energia wewnętrzna może być przedstawiona jako suma energii potencjalnej W
p
i energii kinetycznej W
k
.
W
+
=
p
W
k
⇒
W
=
W
p
W
+
&
k
(2)
Ograniczając analizę do przypadku bardzo powolnej zmiany układu mechanicznego w czasie (obciążenie
statyczne) można przyjąć, że prędkość zmian energii kinetycznej jest równa zero. Bilans energetyczny ma
zatem postać:
&
=
W
p
(3)
2. RÓWNANIE STANU, POTENCJAŁ SIŁ WEWNĘTRZNYCH
Przyrost pracy sił zewnętrznych na przemieszczeniach u
i
(tzn. moc sił zewnętrznych):
L
=
∫∫
q
ν
i
u
&
i
dS
+
∫∫∫
X
i
u
&
i
dV
q
ν
i
– siły powierzchniowe, X
i
– siły masowe
S
V
L
=
∫∫
σ
ij
α
ν
j
u
i
dS
+
∫∫∫
X
i
u
i
dV
(
q
ν
i
σ=
)
ij
α
ν
j
S
V
L
=
∫∫∫
∂
( )
σ
u
dV
+
∫∫∫
X
u
dV
tw. Greena
ij
i
i
i
∂
x
j
V
V
L
=
∫∫∫
[(
σ
ij
,
j
+
X
i
)
u
i
+
u
i
,
j
σ
ij
]
dV
V
L
=
∫∫∫
σ
ij
&
u
i
,
j
dV
(rów. Naviera
σ
ij
,
j
+
X
i
=
0
)
V
L
&
&
L
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
ENERGIA SPRĘŻYSTA
2
σ
u
=
σ
1
( )
u
&
+
u
=
σ
ε
(rów. Cauchy’ego
ε
=
1
(
+
u
)
)
ij
i
,
j
ij
i
,
j
j
,
i
ij
ij
ij
i
j
j
,
i
2
2
2.1. RÓWNANIE STANU
W
p
=
L
=
∫∫∫
σ
ij
ε
ij
dV
=
U
&
(4)
V
Przyrost pracy sił zewnętrznych
L
&
w jednostce czasu jest równy przyrostowi pracy sił
wewnętrznych
U
&
(i zarazem równy przyrostowi energii potencjalnej
p
W
&
)
Równanie (4) wiąże zmienne stanu : zewnętrzne (q
ν
i
, P
i
) i wewnętrzne (
σ
ij
,
ε
ij
) –
jest więc równaniem
stanu
, w tym przypadku
stanu mechanicznego
(związek między wyłącznie parametrami mechanicznymi)
2.2. POTENCJAŁ SIŁ WEWNĘTRZNYCH
•
Gęstość energii
Φ
- energia wewnętrzna na jednostkę objętości
W
p
=
∫∫∫
Φ
dV
⇒
W
&
p
=
∫∫∫
Φ
&
dV
v
v
Φ
&
=
σ
ij
ε
ij
Φ
=
∂
Φ
∂
ε
ij
=
∂
Φ
ε
ij
∂
ε
∂
t
∂
ε
ij
ij
σ
&
ε
&
=
∂
Φ
ε
ij
ij
∂
ε
ij
ij
σ
=
∂
Φ
ij
∂
ε
ij
Wniosek
: gęstość energii potencjalnej (wewnętrznej) jest potencjałem sił wewnętrznych
2.3. INNA POSTAĆ RÓWNANIA STANU MECHANICZNEGO
W
p
∫∫∫
=
L
=
T
&
σ
T
ε
dV
V
W
p
=
L
=
∫∫∫
(
D
σ
+
A
σ
)
(
D
&
ε
+
A
&
ε
)
dV
=
∫∫∫
(
D
σ
D
&
ε
+
A
σ
A
&
ε
+
D
σ
A
ε
+
A
σ
D
ε
)
dV
V
V
Łatwo wykazać, że :
D
σ
A
&
ε
=
A
σ
D
ε
=
0
.
np.
( )
D
σ
&
A
ε
=
σ
ij
−
σ
m
δ
ij
ε
m
δ
ij
=
σ
ij
ε
&
m
δ
ij
−
σ
m
ε
m
δ
ij
δ
ij
=
σ
kk
ε
m
−
3
σ
m
ε
m
=
3
σ
m
ε
m
−
3
σ
m
ε
m
=
0
W
p
∫∫∫
=
L
=
(
D
σ
D
&
ε
+
A
σ
A
&
ε
)
dV
V
3. ENERGIA POTENCJALNA DLA CIAŁA LINIOWO SPRĘŻYSTEGO
3.1. Prawo Hooke’a
D
σ
=
D
2
G
ε
A
σ
=
A
3
K
ε
×
d
d
t
D
σ
=
D
2
G
&
ε
A
&
σ
=
A
3
K
&
ε
3.2. Gęstość energii odkształcenia postaciowego i objętościowego
W
p
∫∫∫
=
L
=
1
D
D
&
+
1
A
A
&
dV
σ
σ
σ
σ
2
G
3
K
V
W
=
1
∫∫∫
D
D
&
dV
+
1
∫∫∫
A
A
dV
p
σ
σ
σ
σ
2
G
3
K
V
V
&
&
&
,
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
ENERGIA SPRĘŻYSTA
3
W
=
1
∫∫∫
1
d
(
D
D
)
dV
+
1
∫∫∫
1
d
(
A
A
)
dV
×
t
∫
d
p
σ
σ
σ
σ
2
G
2
d
t
3
K
2
d
t
V
V
W
=
1
∫∫∫
1
(
D
D
)
dV
+
1
∫∫∫
1
(
A
A
)
dV
p
2
2
G
σ
σ
2
3
K
σ
σ
V
V
W
=
1
∫∫∫
D
D
dV
+
1
∫∫∫
A
A
dV
p
2
σ
ε
2
σ
ε
V
V
Wprowadźmy definicje gęstości energii odkształcenia postaciowego
Φ
f
i odkształcenia objętościowego
Φ
v
Φ
=
1
D
D
f
2
σ
ε
Φ
=
1
A
A
v
2
σ
ε
W
p
=
∫∫∫
Φ
f
dV
+
∫∫∫
Φ
v
dV
=
∫∫∫
Φ
dV
V
V
v
Φ
=
Φ
f
+
Φ
v
W
p
∫∫∫
=
1
T
T
dV
2
σ
ε
V
•
Gęstość energii odkształcenia postaciowego
( )( )
=
1
D
D
=
1
D
D
=
1
σ
−
σ
δ
σ
−
σ
δ
=
1
(
σ
σ
−
2
σ
σ
δ
+
σ
σ
δ
δ
)
f
σ
ε
σ
σ
ij
m
ij
ij
m
ij
ij
ij
ij
m
ij
m
m
ij
ij
2
4
G
4
G
4
G
Φ
=
1
(
σ
σ
−
2
σ
σ
+
3
σ
σ
)
=
1
σ
σ
−
2
σ
σ
kk
+
3
σ
kk
σ
kk
=
1
σ
σ
−
1
σ
σ
f
ij
ij
kk
m
m
m
ij
ij
kk
ij
ij
kk
kk
4
G
4
G
3
3
3
4
G
3
Φ
=
1
( ) ( )
3
σ
σ
−
σ
2
kk
=
1
+
ν
3
σ
σ
−
σ
2
kk
f
ij
ij
ij
ij
12
G
6
E
Φ
=
1
+
ν
[
( ) ( )
( )
( )
σ
−
σ
2
+
σ
−
σ
2
+
σ
−
σ
2
+
6
τ
xy
+
τ
xz
+
τ
yz
]
f
x
y
y
z
x
z
6
E
Φ
=
E
[
( ) ( )
( )
( )
ε
−
ε
2
+
ε
−
ε
2
+
ε
−
ε
2
+
6
ε
xy
+
ε
xz
+
ε
yz
]
f
x
y
y
z
x
z
6
(
+
ν
)
•
Gęstość energii odkształcenia objętościowego
Φ
=
1
A
A
=
1
A
A
=
1
( )( )
σ
δ
σ
δ
=
1
3
σ
σ
v
2
σ
ε
6
K
σ
σ
6
K
m
ij
m
ij
6
K
m
m
Φ
=
1
3
σ
σ
=
1
σ
kk
σ
kk
=
3
(
−
2
ν
)
σ
kk
σ
kk
v
m
m
6
K
2
K
3
3
2
E
3
3
Φ
=
(
−
2
ν
)
σ
2
kk
v
6
E
Φ
=
(
−
2
ν
)
(
σ
+
σ
+
σ
)
2
v
x
y
z
6
E
Φ
=
E
( )
2
ε
+
ε
+
ε
v
x
y
z
6
(
−
2
ν
)
•
Gęstość całkowitej energii sprężystej
Φ
=
1
[
x
+
σ
y
+
σ
z
−
2
ν
(
σ
σ
+
σ
σ
+
σ
σ
)
( )
+
2
(
+
ν
)
τ
xy
+
τ
xz
+
τ
yz
]
2
E
x
y
y
z
x
z
&
Φ
σ
ENERGIA SPRĘŻYSTA
4
4. ENERGIA SPRĘŻYSTA W UKŁADACH PRĘTOWYCH
Zadanie:
Wyznaczyć całkowitą energię sprężystą pręta
z
σ
=
N
(
x
)
+
M
(
x
)
z
x
A
I
y
y
Q
(
x
)
S
y
(
z
)
τ
=
−
xz
I
b
(
z
)
y
x
M
σ
=
σ
=
τ
=
τ
=
0
y
z
xy
yz
x
N
Q
Φ
=
1
[
x
+
2
(
+
ν
)
τ
xz
]
2
E
2
Q
(
x
)
S
(
z
)
2
1
N
(
x
)
M
(
x
)
y
∫∫∫
∫∫∫
W
=
Φ
dV
=
+
z
+
2
(
+
ν
)
dV
p
2
E
A
I
I
b
(
z
)
y
y
v
v
2
2
Q
(
x
)
S
(
z
)
2
1
M
(
x
)
1
M
(
x
)
N
(
x
)
1
N
(
x
)
1
+
ν
y
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
W
=
z
dV
+
z
dV
+
dV
+
dV
p
2
E
I
E
I
A
2
E
A
E
I
b
(
z
)
y
y
y
v
W
p
=
W
p
+
W
p
2
+
W
p
3
+
W
p
4
1
M
(
x
)
N
(
x
)
1
l
M
(
x
)
N
(
x
)
1
l
M
(
x
)
N
(
x
)
∫∫∫
∫∫∫
∫ ∫∫
W
=
z
dV
=
z
dA
dx
=
z
dA
dx
=
0
p
2
E
I
A
E
I
A
E
I
A
y
y
y
0A
0
A
1
M
(
x
)
2
1
l
M
2
(
x
)
1
l
M
2
(
x
)
l
M
2
(
x
)
∫∫∫
∫ ∫∫
∫ ∫∫
∫
2
2
W
=
z
dV
=
z
dA
dx
=
z
dA
dx
=
dx
p
2
E
I
2
E
y
2
E
y
2
E
I
I
I
y
y
v
0A
0
A
0
∑
∫
=
n
M
2
(
x
)
W
=
dx
p
2
E
I
y
i
1
l
i
1
N
2
(
x
)
1
l
N
2
(
x
)
l
N
2
(
x
)
∫∫∫
∫ ∫∫
∫
W
=
dV
=
dA
dx
=
dx
p
3
2
E
2
2
E
2
A
A
2
E
A
0
A
0
∑
∫
=
m
N
2
(
x
)
W
=
dx
p
3
2
E
A
i
1
l
i
Q
(
x
)
S
(
z
)
2
l
2
S
y
(
z
)
1
+
ν
1
Q
(
x
)
∫∫∫
y
∫ ∫∫
W
=
dV
=
dA
dx
p
4
E
I
b
(
z
)
2
G
y
2
y
I
b
(
z
)
0
A
µ
=
A
∫∫
S
y
(
z
)
dA
µ
- energetyczny współczynnik ścinania
I
y
b
2
(
z
)
A
l
Q
2
(
x
)
p
∫
W
=
µ
dx
4
2
G
A
0
∑
∫
=
n
Q
2
(
x
)
W
=
µ
dx
p
4
2
G
A
i
1
l
i
∑
∫
=
n
M
2
(
x
)
+
∑
∫
=
m
N
2
(
x
)
+
∑
∫
=
n
Q
2
(
x
)
W
=
dx
dx
µ
dx
p
2
E
I
2
E
A
2
G
A
y
i
l
1
i
1
i
1
l
l
i
i
i
σ
[ Pobierz całość w formacie PDF ]