exam0104, Wydział Zarządzania WZ WNE UW SGH PW czyli studia Warszawa kierunki matematyczne, WNE UW
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Zadanie 2.
Mamy model nast¦puj¡cej postaci:
y
t
=
¯
1
+
¯
2
d
t
+
²
t
t
=1
:::T
½
1dla t
·k
0dla
t>k
var
(
²
)=
¾
2
I
d
t
=
dla parametrów
¯
1
i
¯
2
i oblicz je dla
T
=40,
k
=20,
P
T
t
=1
y
t
=
30,
P
k
t
=1
y
t
=10.
(b) udowodnij, »e te estymatory s¡ nieobci¡»one je±li spełniaj¡ zało»enia
KMRL,
(c) Podaj posta¢ macierzy wariancji-kowariancji dla estymatorów
b
1
i
b
2
je±li
spełnione s¡ zało»enia KMRL.
Podpowied¹
Skorzystaj z tego, »e:
·
Tk
kk
¸
¡
1
=
1
T¡k
·
1
¡
1
¡
1
T
k
¸
Rozwi¡zanie
ad (a) Dla tego modelu
9
>
=
11
. .
11
>
;
1
::k
µ
Tk
kk
¶
µP
T
t
=1
y
t
¶
9
>
=
X
=
;X
0
X
=
;X
0
y
=
P
k
t
=1
y
t
10
. .
10
k
+1
::T
>
;
wi¦c
·
1
¡
1
¡
1
T
k
¸·
P
T
t
=1
y
t
¸
b
=(
X
0
X
)
¡
1
X
0
y
=
1
T¡k
P
k
t
=1
y
t
·
1
¡
1
¡
12
¸·
30
10
¸
·
1
¡
1
2
¸
b
=
1
20
=
1
(a) Posługuj¡c si¦ wzorami dla MNK wyprowad¹ posta¢ estymatorów MNK
ad (b) Mo»na zastosowa¢ standardowy dowód na nieobci¡»ono±¢ estyma-
tora KMRL:
E
(
b
)=
E
((
X
0
X
)
¡
1
X
0
y
)=
E
((
X
0
X
)
¡
1
X
0
(
X¯
+
²
))=
¯
+(
X
0
X
)
¡
1
X
0
E
(
²
)=
¯
Estymator jest nieobci¡»ony.
ac (c) je»eli spełnione s¡ zało»enia KMRL to macierz wariancji jest równa
·
1
¡
1
¡
1
T
k
¸
var
(
b
)=
¾
2
(
X
0
X
)
¡
1
=
¾
2
1
T¡k
Zadanie 3
Mamy nast¦pj¡cy model
y
i
=
¯
+
²
i
dla
i
=1
:::n
Var
(
²
)=
¾
2
I
a) Posługuj¡c si¦ wzorami dla MNK wyprowad¹ posta¢ estymatora MNK
dla parametrów
¯
i
¾
2
tego modelu;
b) Policz warto±¢ tych estymatorów dla
n
=5,
P
n
i
=1
y
i
=10,
P
n
i
=1
(
y
i
¡
¹
y
)
2
=
8
c) Udowodnij, »e estymator
¾
2
jest estymatorem nieobci¡»onym, je±li speł-
nione s¡ zało»enia KMRL
Rozwi¡zanie
ad a) Wystarczy zauwa»y¢, »e jedynem regresorem w tym modelu jest stała.
Z własno±ci MNK wiemy, »e hiprepłaszczyzna regresji przechodzi przez
punkt ±rednich. Wobec tego:
¹
y
=
b
0
+
b
1
¹
x
Poniewa» jedynym regresorem jest stała
8xx
i
=0. Wobec tego:
P
n
i
=1
y
i
n
alternatywnym sposobem jest obliczenie estymatora z postaci macierzo-
wej
b
=(
X
0
X
)
¡
1
(
X
0
y
). Poniewa» macierz zawiera wył¡cznie kolumn¦
jedynek, wi¦c:
b
0
=¹
y
=
(
X
0
X
)=
n)
(
X
0
X
)
¡
1
=
1
n
2
X
0
y
=
¡
1
:::
1
¢
y
=
n
X
y
i
i
=1
wi¦c
X
P
i
=1
n
y
i
n
=¹
y
b
=(
X
0
X
)
¡
1
X
0
y
=
1
n
i
=1
n
y
i
=
estymatory reszt modelu mo»emy zapisa¢ jako:
e
i
=
y
i
¡Xb
=
y
i
¡
¹
y
estymatorem MNK dla parametru
¾
2
jest:
¾
2
=
e
0
e
n¡k¡
1
=
(
y
i
¡
¹
y
)
0
(
y
i
¡
¹
y
)
n¡k¡
1
=
(
y
i
¡
¹
y
)
0
(
y
i
¡
¹
y
)
n¡
1
poniewa» liczba zmiennych niezale»nych (bez stałej)
k
wynosi 0.
ad b)
b
=
10
5
=2,
s
2
=
8
4
=2
ad c) Mo»na zastosowa¢ standardowy dowód:
E
(
e
0
e
)=
E
(
²
0
M²
)=
E
(
tr
(
²
0
M²
))=
E
(
tr
(
M²
0
²
))=
tr
(
ME
(
²
0
²
))=
poniewa» estymator jest liniowy, a macierz
M
nielosowa i idempo-
tentna. Nale»y równie» zauwa»y¢, »e macierz idempotentna jako war-
to±ci własne ma wyłacznie 0 i 1.
tr
(
M¾
2
)=
¾
2
tr
(
M
)=
¾
2
tr
(
I¡X
(
X
0
X
)
¡
1
X
0
)=
¾
2
(
T¡tr
(
X
(
X
0
X
)
¡
1
X
0
))=
¾
2
(
T¡tr
((
X
0
X
)
¡
1
X
0
X
))=
¾
2
(
T¡k
)
:
poniewa» macierz(
X
0
X
)
¡
1
ma wymiary TxK. Wobec tego
S
2
=
e
0
e
T¡k
jest nieobci¡»onym estymatorem nieznanej wariancji składnika loso-
wego.
Zadanie 4
Pewien badacz anlizuje zale»no±¢ wysoko±ci płac pewnej grupy pracow-
ników od zmiennych demograficzno-społecznych. Jeden z wyestymowanych
przez niego modeli ma nast¦puj¡c¡ posta¢:
w
i
=
¯
0
+
¯
1
sex
i
+
¯
2
age
i
+
²
i
gdzie zmienna
w
i
jest logarytmem płacy, zmienna
sex
i
jest zmienn¡ zero-
jedynkow¡ przyjmuj¡c¡ warto±¢ 0 dla kobiet, a 1 dla m¦»czyzn a
age
i
jest
wiekiem respondenta.
3
a) Podaj interpretacj¦ współczynników w tym modelu,
b) Wyja±nij jakie b¦dzie miało konsekwencje dla oszacowania parametrów
modelu je±li istotn¡ zmienn¡, która kształtuje płace, jest sta» pracy,
który nie został uwzgl¦dniony w modelu,
c) Jaki wpływ na oszacowanie współczynnika przy zmiennej
sex
i
ma pomi-
ni¦cie zmiennej sta» pracy, je±li m¦»czy¹ni maj¡ ±rednio wy»szy sta»
pracy ni» kobiety?
Rozwi¡zanie
ad a) Współczynnik
¯
1
przy zmiennej
sex
i
mowi o ile procentowo wi¦cej/mniej
zarabiaj¡ m¦»czy¹ni od kobiet. Współczynnik przy zmiennej
age
i
mówi
o ile wzro±nie logarytm płacy je±li wiek wzro±nie o jednostk¦. Ten
współczynnik mo»e by¢ równie» interpretowany jako procentowa zmiana
płacy wywołana wzrostem wieku o jednostk¦.
ad b) Je»eli pominiemy istotn¡ zmienn¡ otrzymamy obci¡»one estymatory
parametrów. A co b¦dzie je±li sta» pracy jest współliniowy z wiekiem?
ac c) Pomini¦cie zmiennej sta» pracy spowoduje zawy»enie estymatora pa-
rametru przy zmiennej
sex
i
. Ró»nica w płacy mi¦dzy kobiet¡ a m¦»-
czyzn¡ w tym samym wieku o ró»nym sta»u pracy zostanie przypisana
zmiennej
sex
i
opisuj¡cej płe¢. W zwi¡zku z tym efekt płci w modelu
b¦dzie przeszacowany.
Zadanie 5
Mamy nast¦puj¡cy model funkcji konsumpcji
C
t
=
¯
1
+
¯
2
Y
t
+
²
t
gdzie
C
t
oznacza wielko±¢ konsumpcji,
Y
t
wielko±¢ dochodu narodowego. MO-
del oszacowano na szeregu czasowym dotycz¡cym pewnego kraju. Wyjs±nij
jaki jest wpływ obserwacji zaznaczonej na wykresach na jako±¢ oszacowa«
oraz przedyskutuj wła±ciwy sposób post¦powania je»eli:
a) obserwacja zaznaczona na poni»szym wykresie kółkiem dotyczy roku, w
którym nast¡pił du»y przej±ciowy wzrost dochodu narodowego zwia-
zany ze wzrostem cen surowców produkowanych przez dany kraj,
4
b) obserwacja zaznaczona na poni»szym wykresie kółkiem dotyczy roku, w
którym nast¡pił du»y spadek konsumpcji zwi¡zany z jednokrotn¡ i do-
tycz¡c¡ tylko jednego roku podwy»k¡ podatku dochodowego w danym
kraju.
Rozwi¡zanie
ad a) Wzrost cen surowców spowodował wzrost dochodu narodowego. Z
wykresu konsumpcji wida¢, »e zwi¦kszony dochód przyczynił si¦ do
wzrostu konsumpcji. Zwi¡zek mi¦dzy dochodem a konsumpcj¡ mógł
pozosta¢ niezmieniony. Na wykresie linii regresji (C,Y) wida¢, »e nie-
typowa obserwacja "pasuje"do linii regresji. Wi¦c z du»y, prawdopo-
dobie«stwem jest to obserwacja nietypowa a nie outlier. Wobec tego
obserwacj¡ nale»y pozostawi¢, gdy» poprawi ona dopasowanie modelu
do danyc empirycznych.
ad b) Zmiana wysoko±ci podatku dochodowego powoduje spadek poziomu
konsumcji. Dochód narodowy pozostaje na podobym poziomie jak w la-
tach poprzednich, tendencja wzrostowa zostaje zachowana. Zaznaczona
obserwacja nie pasuje zarówno do przebiegu poziomu konsumpcji jak i
do modelu wyja±niaj¡cego poziom konsumpcji poziomem dochodu na-
rodowego. Wobec tego z du»ym prawdopodobie«stwem jest to outlier.
Wobec tego buduj¡c model powinni±my t¡ obserwacje pomin¡¢, ponie-
wa» jej uwzgl¦dnienie spowoduje obci¡»enie uzyskanych estymatorów.
5
[ Pobierz całość w formacie PDF ]