falki, Mechatronika AGH IMIR, semestr 6, Identyfikacja i analiza sygnałów 2, wykłady czyjeś
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Falki
Gdy dana jest funkcja
f
(
x
) (dla ustalenia uwagi
b¦dziemy przyjmowa¢, »e wszystkie funkcje okre±lone
s¡ na caªej prostej rzeczywistej), to cz¦sto chcieliby±my
j¡ przedstawi¢ jako sum¦
f
=
Funkcj¦
nazywamy falk¡, je±li ukªad funkcji
j;k
,
okre±lony jako
j;k
(
x
) = 2
j=
2
(2
j
x
k
)
;
gdzie j i k przebiegaj¡ wszystkie liczby caªkowite, jest
ukªadem ortonormalnym i zupeªnym.
X
a
k
F
k
;
Pierwsz¡ falk¦ zbudowaª prawie sto lat temu w¦gierski
matematyk A. Haar. Oto ona
k
8
<
gdzie
a
k
to pewne wspóªczynniki liczbowe, a
F
k
to
ustalona rodzina ÿprostych" funkcji. Chcemy przy tym
(ze wzgl¦dów praktycznych), aby ju» sko«czona suma
dobrze przybli»aªa nasz¡ funkcj¦
f
.
:
1 dla 0 6
x <
1
=
2
1 dla 1
=
2 6
x <
1
0 w pozostaªych przypadkach.
Z definicji natychmiast wynika, »e funkcja
h
j;k
jest
zerem poza odcinkiem [2
j
k;
2
j
(
k
+ 1)], wobec tego
wspóªczynnik
a
j;k
zale»y tylko od warto±ci, jakie
funkcja
f
przyjmuje na tym odcinku. Oczywi±cie funkcje
a
j;k
h
j;k
, jak i ich sko«czone sumy, s¡ nieci¡gªe.
Nast¦pne falki skonstruowaª w 1981 roku szwedzki
matematyk Jan-Olov Stromberg. Jego falki byªy ju»
ci¡gªe, a nawet miaªy kilka pochodnych. Gdzie± okoªo
1986 roku matematyk francuski, Yves Meyer,
h
(
x
) =
W praktycznych zastosowaniach
f
mo»e by¢ wykresem
EKG lub drga« sejsmicznych, zapisem d¹wi¦ku itp.
Je±li
f
jest funkcj¡ dwu zmiennych, to mo»e ona
reprezentowa¢ obraz.
Powstaje kilka istotnych problemów, np.
1)
Jak obliczy¢ wspóªczynniki
a
k
?
2)
Jak znale¹¢ sko«czon¡ sum¦, która dobrze
przybli»a
f
?
skonstruowaª nast¦pne falki i stworzyª ogóln¡ teori¦.
Najcz¦±ciej nie istnieje zwarta formuªa definiuj¡ca
falk¦, natomiast cz¦sto istniej¡ efektywne rekurencyjne
algorytmy pozwalaj¡ce oblicza¢ zarówno falk¦, jak
i wspóªczynniki
a
j;k
.
Co do problemu 3), to praktyczn¡ reguª¡ jest, »e dla
dobrej falki sko«czone sumy szeregu
X
3)
I co to znaczy:
dobrze
przybli»a?
Oczywi±cie, rozwi¡zania powy»szych problemów zale»¡
od wybranej rodziny funkcji
F
k
.
W zasadzie odpowied¹ na pytanie 1 znana jest
od co najmniej 200 lat: ukªad
F
k
powinien by¢
ortonormalny, co znaczy, »e
Z
a
j;k
h
j;k
(
x
)
F
k
(
x
)
F
l
(
x
)d
x
k
przybli»aj¡ funkcj¦
f
dla wszystkich sposobów
obliczania odlegªo±ci mi¦dzy funkcjami. Na pytanie 2)
bardzo cz¦sto dobra jest odpowied¹ najprostsza:
do sumy wybierz skªadniki, w których wspóªczynniki
s¡ najwi¦ksze.
równa si¦ 0, gdy
k
6
=
l
, i 1, gdy
k
=
l
{ to pozwala ju»
obliczy¢
a
k
(aby byªo
f
=
P
k
a
k
F
k
, potrzeba jeszcze, by
ukªad speªniaª pewien warunek, zwany zupeªno±ci¡, ale
to mo»na zapewni¢).
Otó» falki s¡ to pewne specjalne funkcje, które ªatwo
generuj¡ takie ukªady ortonormalne, »e mo»na poradzi¢
sobie z problemami 2) i 3).
Przemysªaw WOJTASZCZYK
[ Pobierz całość w formacie PDF ]