ep13r6, Politechnika Poznańska, Mechatronika, Semestr 03, Elektrotechnika - wykłady
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Elektrotechnika podstawowa
109
ROZDZIAŁ 6
E l e m e n t y o b w o d ó w p r
Ģ
d u
s i n u s o i d a l n e g o
Wielko
Ļ
ci i obrazuj
Ģ
ce je przebiegi czasowe mo
Ň
na klasyfikowa
ę
ze wzgl
ħ
du na okre
Ļ
lone cechy i
wska
Ņ
niki, u
Ň
ywaj
Ģ
c nazw zwi
Ģ
zanych z charakterem zmienno
Ļ
ci. Wielko
Ļ
ci sinusoidalne zalicza
si
ħ
do wielko
Ļ
ci okresowych przemiennych.
Sinusoidalne przebiegi pr
Ģ
du i napi
ħ
cia
w dwójniku liniowym
mog
Ģ
mie
ę
ró
Ň
ne fazy pocz
Ģ
tkowe,
tzn. by
ę
wzgl
ħ
dem siebie przesuni
ħ
te, co jest zale
Ň
ne od charakteru i sposobu poł
Ģ
czenia elemen-
tów wchodz
Ģ
cych w skład dwójnika. Zwi
Ģ
zane s
Ģ
z tym poj
ħ
cia: przesuni
ħ
cia fazowego, współ-
czynnika mocy i mocy czynnej dwójnika. Inne wa
Ň
ne wielko
Ļ
ci to: reaktancja, impedancja, suscep-
tancja, admitancja, moc bierna i moc pozorna.
W liniowych obwodach elektrycznych mog
Ģ
wyst
ħ
powa
ę
zjawiska rezonansowe
, stwarzaj
Ģ
ce nie-
bezpiecze
ı
stwo przepi
ħę
lub przet
ħŇ
e
ı
.
Zwi
Ģ
zki czasowe i amplitudowe mi
ħ
dzy przebiegami o tej samej pulsacji (synchronicznymi) przed-
stawiane s
Ģ
geometrycznie za pomoc
Ģ
wykresów wskazowych
. Korzystaj
Ģ
c z
metody symbolicznej
formułuje si
ħ
te zale
Ň
no
Ļ
ci w sposób analityczny.
Metody rozwi
Ģ
zywania
obwodów rozgał
ħ
zionych
pr
Ģ
du stałego oraz sinusoidalnego ró
Ň
ni
Ģ
si
ħ
prak-
tycznie tylko tym,
Ň
e w wypadku pierwszych wykonuje si
ħ
obliczenia na liczbach rzeczywistych, a
w wypadku drugich – na liczbach zespolonych. Bilans mocy obwodu sinusoidalnego dotyczy mocy
zespolonej, tj. mocy czynnej i mocy biernej.
110
Elektrotechnika podstawowa
cos współczynnik mocy
C
pojemno
Ļę
elektryczna
e
napi
ħ
cie
Ņ
ródłowe
E
warto
Ļę
skuteczna sinusoidalnego
napi
ħ
cia
Ņ
ródłowego
E
wskaz napi
ħ
cia
Ņ
ródłowego; warto
Ļę
symboliczna (skuteczna zespolona)
napi
ħ
cia
Ņ
ródłowego
f
cz
ħ
stotliwo
Ļę
f
rez
cz
ħ
stotliwo
Ļę
rezonansowa
G
konduktancja
i
pr
Ģ
d
i
(
t
) przebieg czasowy pr
Ģ
du
½
i
½
max
warto
Ļę
szczytowa pr
Ģ
du
i
h
%
współczynnik odkształcenia pr
Ģ
du
k
k
współczynnik kształtu
k
sz
współczynnik szczytu
I
warto
Ļę
skuteczna pr
Ģ
du okresowe-
go
I
b
składowa bierna pr
Ģ
du
I
cz
składowa czynna pr
Ģ
du
I
m
amplituda pr
Ģ
du sinusoidalnego
I
Ļ
r
warto
Ļę
Ļ
rednia półokresowa
I
0
warto
Ļę
Ļ
rednia pr
Ģ
du okresowego
I
warto
Ļę
wyprostowana pr
Ģ
du
I
wskaz pr
Ģ
du; warto
Ļę
symboliczna
(skuteczna zespolona) pr
Ģ
du
Õ
I
Õ
moduł
I
(długo
Ļę
wskazu równa
I
)
I
m
wskaz nieruchomy (pocz
Ģ
tkowy)
amplitudy pr
Ģ
du
I
mt
wskaz wiruj
Ģ
cy amplitudy pr
Ģ
du
I
Ņ
r
wskaz pr
Ģ
du
Ņ
ródłowego; warto
Ļę
symboliczna (skuteczna zespolona)
pr
Ģ
du
Ņ
ródłowego
I
o
warto
Ļę
symboliczna pr
Ģ
du oczko-
wego
j
liczba urojona; operator obrotu
wskazu
L
indukcyjno
Ļę
własna
M
indukcyjno
Ļę
wzajemna
p
moc chwilowa
P
moc
Ļ
rednia w obwodzie pr
Ģ
du
okresowego; moc czynna
P
gen
moc czynna „generatorowa”
P
odb
moc czynna „odbiornikowa”
P
W
wskazanie watomierza
q
ładunek elektryczny
Q
moc bierna
Q
gen
moc bierna „generatorowa”
Q
odb
moc bierna „odbiornikowa”
R
rezystancja
S
moc pozorna
S
moc zespolona
S
gen
moc zespolona „generatorowa”
S
odb
moc zespolona „odbiornikowa”
t
czas
T
okres (podstawowy) przebiegu
u
napi
ħ
cie
u
(
t
) przebieg czasowy wielko
Ļ
ci
U
; przebieg
czasowy napi
ħ
cia
½
u
½
max
warto
Ļę
szczytowa napi
ħ
cia
u
h
%
współczynnik odkształcenia napi
ħ
cia
U
wielko
Ļę
; warto
Ļę
skuteczna napi
ħ
cia
okresowego
U
b
składowa bierna napi
ħ
cia
U
cz
składowa czynna napi
ħ
cia
U
m
amplituda napi
ħ
cia sinusoidalnego
U
m
(
k
)
amplituda
k
-tej harmonicznej przebiegu
okresowego
u
(
t
)
U
Ļ
r
warto
Ļę
Ļ
rednia półokresowa napi
ħ
cia
okresowego
U
0
warto
Ļę
Ļ
rednia przebiegu okresowego
u
(
t
); warto
Ļę
Ļ
rednia napi
ħ
cia
U
warto
Ļę
wyprostowana napi
ħ
cia
U
wskaz napi
ħ
cia; warto
Ļę
symboliczna
(skuteczna zespolona) napi
ħ
cia
Õ
U
Õ
moduł
U
(długo
Ļę
wskazu równa
U
)
U
m
wskaz nieruchomy (pocz
Ģ
tkowy) amplitu-
dy napi
ħ
cia
U
mt
wskaz wiruj
Ģ
cy amplitudy napi
ħ
cia
U
0
warto
Ļę
symboliczna napi
ħ
cia
Ņ
ródła za-
st
ħ
pczego
W
energia elektryczna
X
reaktancja
X
C
reaktancja pojemno
Ļ
ciowa
X
L
reaktancja indukcyjna własna
X
M
reaktancja indukcyjna wzajemna
Y
admitancja
Y
admitancja zespolona
Z
impedancja
Z
impedancja zespolona
Z
w
impedancja zespolona
Ņ
ródła
j k
Ģ
t przesuni
ħ
cia fazowego
y faza pocz
Ģ
tkowa (pocz
Ģ
tkowy k
Ģ
t fazowy)
przebiegu sinusoidalnego
r
rez
impedancja charakterystyczna (falowa)
obwodu rezonansowego
w pulsacja przebiegu sinusoidalnego
w
rez
pulsacja rezonansowa
w
0
„wzorcowa” pulsacja rezonansowa
Literatura do rozdziału 6
[1], [2], [4], [7], [9]
Oznaczenia wielko
Ļ
ci wyst
ħ
puj
Ģ
cych w rozdziale 6
B
susceptancja
B
C
susceptancja pojemno
Ļ
ciowa
B
C
susceptancja indukcyjna
j
6. Elementy obwodów pr
Ģ
du sinusoidalnego
111
Wykład XIII.
PRZEBIEGI WIELKO
ĺ
CI ZMIENNYCH W CZASIE.
ELEMENTY
R
,
C
,
L
i
M
PRZY PR
ġ
DZIE SINUSOIDALNYM
Klasyfikacja przebiegów zmiennych w czasie
Wielko
Ļę
U
, okre
Ļ
lon
Ģ
w przedziale czasu (
t
0
,
t
n
), charakteryzuje
przebieg czasowy
u
(
t
) o warto-
Ļ
ciach chwilowych:
u
(
t
0
),
u
(
t
1
), ... ,
u
(
t
n
).
Przebieg
u
(
t
) spełnia
warunek okresowo
Ļ
ci
w przedziale czasu (0, ¥), je
Ļ
li:
)
u
(
t
+
kT
)
=
u
(
t
dla
t
³ 0,
k
= 1, 2, ... , ¥ , (6.1)
przy czym najmniejsza liczba
T
spełniaj
Ģ
ca ten warunek nazywa si
ħ
okresem
(podstawowym) prze-
biegu, a jej odwrotno
Ļę
f
=
1
–
cz
ħ
stotliwo
Ļ
ci
Ģ
przebiegu.
T
Ze wzgl
ħ
du na spełnienie warunku okresowo
Ļ
ci wyró
Ň
nia si
ħ
wielko
Ļ
ci (przebiegi) zmienne
okre-
sowe
(przykład na rys. a) i
nieokresowe
(przykład na rys.
b):
a) b)
u
u
t
t
0
T
2T
0
Warto
Ļę
Ļ
rednia za okres
T
przebiegu
u
(
t
) wielko
Ļ
ci okresowej
U
, to jej
warto
Ļę
Ļ
rednia
:
1
0
+
T
U
=
u
(
t
)
=
Ð
u
(
t
)
dt
. (6.2)
0
T
t
0
Wielko
Ļę
okresowa, której warto
Ļę
Ļ
rednia jest równa zeru, nosi nazw
ħ
przemiennej
(przykład na
rys. c)., za
Ļ
której warto
Ļę
Ļ
rednia jest ró
Ň
na od zera –
pulsuj
Ģ
cej
lub
t
ħ
tni
Ģ
cej
(przykład na rys. d):
c) d)
u
u
t
U
0
t
0
T
2T
0
T
2T
Wielko
Ļę
okresowa
U
nazywa si
ħ
sinusoidaln
Ģ
(
harmoniczn
Ģ
), je
Ļ
li jej przebieg czasowy mo
Ň
na
przedstawi
ę
jako funkcj
ħ
sinusoidaln
Ģ
(rys. poni
Ň
ej):
u
u
(
t
)
=
U
m
×
sin(
w +
t
y
u
)
, (6.3a)
U
m
przy czym
w
=
p
=
2
p
f
, (6.3b)
T
w
t
gdzie:
U
m
– amplituda,
y
u
– faza pocz
Ģ
tkowa (pocz
Ģ
tkowy k
Ģ
t fazowy),
w
– pulsacja,
(w
t +
y
u
) – faza (k
Ģ
t fazowy) przebiegu w chwili
t
.
Przebiegi sinusoidalne o tej samej pulsacji (cz
ħ
stotliwo
Ļ
ci) – to
przebiegi synchroniczne
.
W ogólnym przypadku, fazy pocz
Ģ
tkowe przebiegów synchronicznych s
Ģ
ró
Ň
ne.
Pr
Ģ
dy i napi
ħ
cia o przebiegach okresowych niesinusoidalnych – to
pr
Ģ
dy i napi
ħ
cia odkształcone
.
-
y
u
0
p
2
p
t
2
112
Wykład XIII
Składniki przebiegu okresowego
Ka
Ň
dy przebieg okresowy, który nie jest sinusoidalny, mo
Ň
na przedstawi
ę
w postaci
szeregu
Fouriera
jako sum
ħ
warto
Ļ
ci
Ļ
redniej (składowej stałej) i przebiegów harmonicznych (składowej
przemiennej):
Ã
¥
u
(
t
)
=
U
+
U
×
sin(
k
w
t
+
y
)
, (6.4)
0
m
(
k
)
u
(
k
)
k
=
1
gdzie:
U
0
– warto
Ļę
Ļ
rednia przebiegu,
U
m
(
k
)
– amplituda
k
-tej harmonicznej przebiegu,
y
u
(
k
)
– faza pocz
Ģ
tkowa (pocz
Ģ
tkowy k
Ģ
t fazowy)
k
-tej harmonicznej przebiegu.
Zachodzi przy tym nast
ħ
puj
Ģ
ca zale
Ň
no
Ļę
(równo
Ļę
Parsevala):
u
2
(
t
)
=
U
2
0
+
1
Ã
¥
U
2
. (6.5)
m
(
k
)
2
k
=
1
Przykład. Na rys. obok pokazano prze-
biegi przemienne niesinusoidalne I i II,
zło
Ň
one z pierwszej i trzeciej harmo-
nicznej – o amplitudach i fazach
pocz
Ģ
tkowych:
U
m
(1)
=
U
m.
I (1)
=
U
m.
II (1)
,
U
m
(3)
=
U
m.
I (3)
=
U
m.
II (3)
,
U
m
(3)
=
0,2
U
m
(1)
;
y
u.
I (1)
=
y
u.
II (1)
=
0°, y
u.
I (3)
=
–
60°,
y
u.
II (3)
=
90°.
1,5
u
U
m
(1)
I
II
1
0,5
w
t
0
-0,5
0
0° ° ° ° ° ° °
60
120
180
240
300
360
-1
-1,5
Warto
Ļ
ci
Ļ
rednie pr
Ģ
du i napi
ħ
cia okresowego
Zgodnie ze wzorem ogólnym, warto
Ļ
ci
Ļ
rednie (całookresowe) pr
Ģ
du i napi
ħ
cia okresowego wyno-
sz
Ģ
:
1
T
1
T
I
=
Ð
i
(
t
)
,
dt
U
=
Ð
u
(
t
)
(6.6a, b)
dt
0
T
0
T
0
0
(
u
,
U
Ļ
r.c
).
Je
Ļ
li warto
Ļę
Ļ
rednia
I
0
lub
U
0
jest równa 0, to pr
Ģ
d
i
(
t
) lub napi
ħ
cie
u
(
t
) jest
przemiennym
.
Pr
Ģ
dy i napi
ħ
cia przemienne s
Ģ
cz
ħ
sto uto
Ň
samiane z sinusoidalnymi – głównie, gdy przedmiotem
zainteresowania s
Ģ
pierwsze harmoniczne przebiegów odkształconych. Ma to zwi
Ģ
zek z okre
Ļ
lo-
nymi dalej współczynnikami sinusoidalno
Ļ
ci pr
Ģ
du i napi
ħ
cia przemiennego. Warto zatem zwraca
ę
uwag
ħ
na poprawne stosowanie terminów: przemienny i sinusoidalny.
Moc
Ļ
rednia i energia w obwodzie pr
Ģ
du okresowego
Moc
Ļ
rednia (warto
Ļę
Ļ
rednia mocy) w obwodzie pr
Ģ
du okresowego wynosi
(
ti
,
I
Ļ
r.c
; )
1
T
1
T
P
=
Ð
p
dt
=
Ð
u
i
dt
, (6.7)
T
T
0
0
a wi
ħ
c energia elektryczna w czasie jednego okresu równa si
ħ
T
W
T
=
Ð
0
p
dt
=
P
×
T
, (6.8a)
za
Ļ
w czasie
t
>>
T
(b
ħ
d
Ģ
cym wielokrotno
Ļ
ci
Ģ
T
) – wyra
Ň
a si
ħ
tak samo jak przy pr
Ģ
dzie stałym:
t
W
=
P
×
. (6.8b)
(inne oznaczenia: )
6. Elementy obwodów pr
Ģ
du sinusoidalnego
113
Warto
Ļ
ci skuteczne pr
Ģ
du i napi
ħ
cia okresowego
Zgodnie z prawem Joule’a, energia wydzielaj
Ģ
ca si
ħ
w rezystancji
R
(konduktancji
G
= 1
/R
) w
przedziale czasu (
t
1
,
t
2
) wynosi
t
2
t
2
W
=
Ð
R
×
i
R
dt
=
Ð
G
×
u
G
2
dt
, (6.9)
t
1
t
1
zatem – ze wzgl
ħ
du na ciepło wydzielane w tej samej rezystancji (konduktancji), w czasie jednego
okresu pr
Ģ
du lub napi
ħ
cia – równowa
Ň
nymi pr
Ģ
dowi okresowemu
i
(
t
) i napi
ħ
ciu okresowemu
u
(
t
)
s
Ģ
pr
Ģ
d stały i napi
ħ
cie stałe o takich warto
Ļ
ciach
I
i
U
,
Ň
e:
T
T
T
T
Ð
R
×
I
2
dt
=
Ð
R
×
i
2
dt
,
Ð
G
×
U
2
dt
=
Ð
G
×
u
2
dt
,
0
0
0
0
1
T
1
T
czyli
I
=
Ð
i
2
dt
,
U
=
Ð
u
2
dt
. (6.10a, b)
T
T
0
0
Okre
Ļ
lone wy
Ň
ej warto
Ļ
ci
I
i
U
(inne oznaczenia:
I
sk
;
U
sk
) nosz
Ģ
miano
warto
Ļ
ci skutecznych
przebiegów okresowych
i
(
t
) i
u
(
t
).
Warto
Ļ
ci wyprostowane pr
Ģ
du i napi
ħ
cia okresowego
Warto
Ļ
ci
Ļ
rednie wyprostowanych całofalowo przebiegów pr
Ģ
du lub napi
ħ
cia okresowego – to
war-
to
Ļ
ci wyprostowane
I
i
U
(inne oznaczenia:
)
i
(
t
,
u
(
t
)
):
I
=
1
T
Ð
i
dt
,
U
=
1
T
Ð
u
dt
. (6.11a, b)
T
T
0
0
Gdy przebiegi:
i
(
t
),
u
(
t
), s
Ģ
funkcjami antysymetrycznymi (przemiennymi symetrycznymi), tj. speł-
niaj
Ģ
cymi warunki:
i
(
t
)
=
0
i
i
(
t
+
T
2
=
−
i
(
t
)
,
u
(
t
)
=
0
i
u
(
t
+
T
2
=
−
u
(
t
)
, to warto
Ļ
ci wypro-
stowane
I
,
U
s
Ģ
równe
warto
Ļ
ciom
Ļ
rednim półokresowym
I
Ļ
r
,
U
Ļ
r
:
T
Ļ
r
Ð
2
2
T
Ļ
r
Ð
2
2
I
=
i
dt
,
U
=
u
dt
. (6.12a, b)
T
T
0
0
Współczynniki szczytu oraz kształtu pr
Ģ
du i napi
ħ
cia okresowego
Stosunki najwi
ħ
kszych warto
Ļ
ci bezwzgl
ħ
dnych (szczytowych) pr
Ģ
du lub napi
ħ
cia: ½
i
½
max
, ½
u
½
max
,
do odpowiednich warto
Ļ
ci skutecznych:
I
,
U
, nazywaj
Ģ
si
ħ
współczynnikami szczytu
pr
Ģ
du lub na-
pi
ħ
cia okresowego:
k
i
=
i
max
,
k
u
=
u
max
. (6.13a, b)
sz
.
I
sz
.
U
Stosunki warto
Ļ
ci skutecznych:
I
,
U
, do warto
Ļ
ci wyprostowanych:
I
,
U
, nosz
Ģ
nazwy
współczyn-
ników kształtu
pr
Ģ
du lub napi
ħ
cia okresowego:
k
i
=
I
,
k
u
=
U
. (6.14a, b)
k
.
I
k
.
U
Współczynniki szczytu oraz kształtu pr
Ģ
du i napi
ħ
cia sinusoidalnego
Przebiegi sinusoidalne
pr
Ģ
du i napi
ħ
cia zapisuje si
ħ
jako funkcje czasu
t
lub k
Ģ
ta w
t
:
(
t
)
º
i
(
w
t
)
=
I
m
×
sin(
w
t
+
y
i
)
,
u
(
t
)
º
u
(
w
t
)
=
U
m
×
sin(
w
t
+
y
u
)
I
=
I
m
,
U
=
U
m
,
I
=
I
=
2
I
m
,
U
=
U
=
2
U
m
,
2
2
Ļ
r
p
Ļ
r
p
2
.
Ich warto
Ļ
ci skuteczne oraz warto
Ļ
ci wyprostowane (
Ļ
rednie półokresowe) wynosz
Ģ
:
i
[ Pobierz całość w formacie PDF ]