ep10r4, Politechnika Poznańska, Mechatronika, Semestr 03, Elektrotechnika - wykłady
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
4. Rozwiązywanie obwodów prądu stałego
81
Wykład X.
ZASADA SUPERPOZYCJI. „PRZENOSZENIE” ŹRÓDEŁ W OBWODZIE.
TWIERDZENIA: THEVENINA, NORTONA, O WZAJEMNOŚCI, O KOMPENSACJI
Zasada superpozycji
Zgodnie z równaniami (4.12a) i (4.17a), liniowy obwód elektryczny o
g
gałęziach i
h
pseudogałę-
ziach jest opisany równaniem ogólnym
A
X
B
×
=
, (4.27a)
g
´
g
g
´
1
g
´
1
gdzie:
A
– macierz parametrów, związana z elementami pasywnymi gałęzi i grafem obwodu,
B
– wektor wymuszeń (pobudzeń), związany z napięciami źródłowymi (gałęzi) oraz prądami
źródłowymi (gałęzi i pseudogałęzi),
X
– wektor odpowiedzi, tj. prądów lub napięć gałęziowych.
Wyrazy wektora
X
, będące rozwiązaniem równania (4.27a), mają następującą postać:
A
3
A
B
3
A
A
11
1
(
j
-
1
1
1
g
det
g
1
1
j
∑
=
j
+
k
X
=
=
×
4
=
×
(
-
1
×
M
×
B
, (4.27b)
j
jk
k
A
A
A
det
det
det
k
1
A
3
A
B
3
A
g
1
g
(
j
-
1
g
gg
gdzie
M
jk
jest
jk
-tym minorem (podwyznacznikiem) macierzy
A
, zaś (-1)
j
+
k
M
jk
jest
jk
-tym dopeł-
nieniem algebraicznym tej macierzy.
Wartość
j
-tej zmiennej
X
j
, stanowiąca odpowiedź układu liniowego na wymuszenie
B
, jest sumą
odpowiedzi na składniki
B
k
tego wymuszenia, zależne od źródłowych napięć i prądów, których
działanie można rozpatrywać oddzielnie. Zachodzi więc tu superpozycja (nakładanie się) odpowie-
dzi, będących reakcją na poszczególne pobudzenia.
Właściwość powyższa nosi nazwę
zasady superpozycji
i jest wykorzystywana do obliczania prądu
lub napięcia w wybranej gałęzi obwodu liniowego, w którym występuje kilka źródeł niezależnych.
Wartość prądu lub napięcia dowolnej gałęzi takiego obwodu, będąca odpowiedzią na wszystkie –
działające w danej chwili – pobudzenia, jest sumą wartości prądu lub napięcia, jakie wywołałyby w
tejże gałęzi, z osobna, każde z działających w tym czasie pobudzeń. Przy prądzie stałym zapisuje się
to następująco:
g
∑
+
=
h
g
∑
+
=
h
I
=
I
,
U
=
U
, (4.27c, d)
j
jk
j
jk
k
1
k
1
gdzie:
I
j
– prąd w gałęzi
j
-tej;
I
jk
– składnik prądu w gałęzi
j
-tej, wymuszony przez źródła występu-
jące w gałęzi lub pseudogałęzi
k
-tej;
U
j
– napięcie na gałęzi
j
-tej,
U
jk
– składnik napięcia na
gałęzi
j
-tej, wymuszony przez źródła występujące w gałęzi lub pseudogałęzi
k
-tej.
Szukając składników odpowiedzi, można posługiwać się dowolnymi metodami. Można też dowol-
nie grupować składniki we wzorach (4.27c) lub (4.27d), tzn. wyznaczać rozwiązywania przy działa-
jących jednocześnie, odpowiednich wymuszeniach.
Przykład. Obliczana jest – na dwa sposoby – wartość prądu
I
w obwodzie pokazanym na rys. a.
b’’)
I
’’
1
W
1
W
6
V
6
V
b’)
a)
1
W
1
W
I
I
’
1
W
1
W
3
V
1
W
1
1
W
b’’’)
W
I
’’’
1
W
1
W
3
A
3
A
3
V
1
W
82
Wykład X
I sposób
: rozwiązanie obwodów z pojedynczymi źródłami – rys. b’, b’’, b’’’
Na rys. b’ występuje dzielnik prądu źródłowego 3 A (na prądy w 3 gałęziach o rezystancjach 1
W
1
przy czym zwrot szukanego prądu jest przeciwny do zwrotu założonego), więc
I
'
=
-
×
3
=
-
1
A.
3
Na rys. b’’ występuje dzielnik prądu pobieranego ze źródła napięciowego 6 V (w obwodzie o rezy-
1
6
stancji zastępczej 1,5
W
; na prądy w 2 gałęziach o rezystancjach 1
W
), więc
I
'
'
=
×
=
2
A.
2
1
Na rys. b’’’ występuje dzielnik prądu pobieranego ze źródła napięciowego 3 V (w obwodzie o rezy-
1
3
stancji zastępczej 1,5
W
; na prądy w 2 gałęziach o rezystancjach 1
W
), więc
I
'
'
'
=
×
=
1
A.
2
1
Szukana wartość:
I
=
-
1
+
2
+
1
=
2
A.
1
W
c’)
6
V
c’’)
1
S
I
’’
I
’
1
1
S
I
o
2
1
S
W
I
o
1
V
0
=
0
V
1
3
A
3
V
1
W
II sposób
: rozwiązanie obwodu z dołączonymi oboma źródłami napięciowymi (stosując metodę
oczkową) oraz obwodu z dołączonych źródłem prądowym (metoda węzłowa) – rys. c’, c’’
Oczka obrano w taki sposób, że szukany prąd jest równy prądowi oczkowemu – rys. c’:
2
1
I
3
o
1
×
=
;
I
'
=
I
=
3
A.
o
1
1
2
I
-
3
o
2
Jest tylko jeden węzeł niezależny, wartości konduktancji trzech gałęzi są jednakowe; zapisanie
równania węzłowego jest formalnością – rys. c’’:
(1+1+1)
V
1
= 3 ;
V
1
= 1 V;
I
'
'
=
1
×
(
0
-
1
=
-
1
A.
Szukana wartość:
I
= 3 – 1 = 2 A.
„Przenoszenie” źródeł do innych gałęzi
Jeśli w obwodzie występują idealne źródła napięciowe bez dołączonej szeregowo rezystancji gałę-
ziowej, to nie można stosować bezpośrednio metody węzłowej. Jeśli w obwodzie występują idealne
źródła prądowe nie zbocznikowane rezystancją gałęziową, to nie można stosować bezpośrednio
metody oczkowej.
Wymienione trudności można jednak ominąć „przenosząc” idealne źródła do innych gałęzi. Przeno-
szenie to polega na dołączeniu takich samych, odpowiednio skierowanych źródeł idealnych. Miejsca
dołączenia i zwroty źródeł muszą być takie, aby nie zmieniały się:
a) w przypadku idealnych źródeł napięciowych – wartości oczkowych napięć źródłowych, jak na
rys. a,
b) w przypadku idealnych źródeł prądowych – wartości wydajności źródeł prądowych w węzłach,
jak na rys. b i c.
Przy przenoszeniu idealnych źródeł napięciowych nie ulega zmianie rozpływ prądów, ale zmieniają
się, związane ze sobą, rozkłady: potencjałów w węzłach oraz napięć gałęziowych (rys. a’).
Przy przenoszeniu idealnych źródeł prądowych nie ulega zmianie rozkład napięć gałęziowych (po-
tencjałów węzłowych), a jeśli prądy źródłowe są traktowane jako zewnętrzne prądy gałęzi, to nie
zmienia się także rozpływ prądów gałęziowych (rys. b’).
4. Rozwiązywanie obwodów prądu stałego
83
a)
2
2
2
V
2
V
2
V
2
–
E
–
E
–
E
E
V
1
E
V
1
V
1
V
1
º
º
E
E
V
2
0
0
0
E
1
1
1
E
E
E
3
3
E
3
E
V
3
=
V
2
V
3
=
V
2
V
3
=
V
2
a’)
V
4
V
4
I
4
I
4
I
1
R
1
E E R
3
I
3
E
º
V
1
V
5
V
5
V
3
I
1
R
1
R
3
I
3
E
V
5
V
5
V
1
V
3
R
2
R
2
I
2
I
2
V
2
V
2
b)
I
źr
I
źr
c)
I
w
1
=
.
I
źr
I
w
1
=
.
I
źr
I
w
3
=
.
0
1
1
1
I
w
1
=
.
I
źr
I
w
3
=
.
0
I
źr
º
º
I
źr
I
źr
I
źr
º
3
3
I
w
2
=
–
I
źr
I
źr
I
w
2
=
–
I
źr
2
2
2
I
w
2
=
–
I
źr
I
źr
I
źr
b’)
E
2
E
2
I
1
R
1
I
2
R
2
I
V
1
V
2
V
3
I
1
R
1
I
2
R
2
I
º
V
1
V
2
V
3
I
źr
I
źr
I
źr
Przykład 1. Przy zastosowaniu metody węzłowej obliczana jest – na dwa sposoby – wartość prądu
I
x
w obwodzie z rys. 1a. „Usunąwszy” źródła napięciowe w gałęziach bezrezystancyjnych danego
obwodu otrzymano 2 obwody wariantowe (rys. 1b i 1c).
6
V
1
W
V
3
1a) 1b) 1c)
1
V
2
6
V
6
V
W
1
W
V
2
V
2
V
1
V
2
I
x
I
x
I
x
3
V
1
W
1
W
1
W
V
4
6
V
3
V
1
W
1
W
V
4
V
1
V
3
3
V
V
2
3
V
1
W
V
3
V
4
V
1
V
3
3
A
3
A
V
4
3
A
84
Wykład X
I wariant rozwiązania
(rys. 1b): w przekształconym obwodzie są 2 węzły (na krańcach 3 równole-
głych gałęzi); przyjęto
V
4
= 0 i zamieniając w myśli źródła napięciowe na prądowe zapisano
równanie węzłowe
(
+
1
+
1
×
V
=
-
3
-
6
+
3
, stąd
V
=
-
2
V oraz
I
=
G
×
(
V
-
V
)
=
1
×
(
0
+
2
=
2
A.
2
2
x
x
4
2
II wariant rozwiązania
(rys. 1c): w przekształconym obwodzie są również 2 węzły (na krańcach 3
równoległych gałęzi); przyjęto
V
1
= 0 i zamieniając w myśli źródła napięciowe na prądowe zapi-
sano równanie węzłowe
(
+
1
+
1
×
V
=
6
+
9
+
3
+
3
, stąd
V
=
7
V oraz
V
=
0
+
3
=
3
V,
V
=
7
-
6
=
1
V,
3
3
4
2
I
=
G
×
(
V
-
V
)
=
1
×
(
-
1
=
2
A.
x
x
4
2
Przykład 2. Przy zastosowaniu metody oczkowej obliczana jest – na dwa sposoby – wartość prądu
I
x
w obwodzie z rys. 2a. „Usunąwszy” pseudogałąź w danym obwodzie otrzymano 2 obwody warian-
towe (rys. 2b i 2c), w których zamieniono źródła prądowe na napięciowe (warto przypomnieć, że
równoległe dołączenie jakiegokolwiek elementu do idealnego źródła napięciowego nie ma wpływu
na jego napięcie; jest to tzw. połączenie nieistotne), po czym obrano oczka w taki sposób, że szuka-
ny prąd
I
x
lub
I
x
’ jest równy prądowi oczkowemu (rys. 2b’ i 2c’).
2a) 2b) 2c)
1
W
6
V
1
W
6
V
1
W
6
V
3
A
I
x
I
x
I
x
3
A
1
W
1
W
1
W
3
V
3
V
1
W
1
W
1
W
3
V
3
A 3
A
3
A
3
A
3
V
1
W
6
V
6
V
2b’) 2c’)
1
W
I
x
’
I
o
2
I
x
I
o
2
3
V
1
W
I
o
1
I
o
1
1
W
3
V
3
V
3
V
1
W
1
W
3
V
I wariant rozwiązania
(rys. 2b i 2b’): równanie oczkowe
I
2
1
3
o
1
×
=
, stąd
I
=
I
=
2
A.
x
o
1
1
2
I
0
o
2
II wariant rozwiązania
(rys. 2c i 2c’): równanie oczkowe
I
2
1
-
3
o
1
×
=
, stąd
I
'
=
I
=
-
1
A oraz
I
=
I
'
+
3
=
2
A.
x
o
1
x
x
1
2
I
-
3
o
2
4. Rozwiązywanie obwodów prądu stałego
85
Konduktancje międzygałęziowe i wejściowe. Twierdzenie Thevenina
Prąd w wyróżnionej
j
-tej gałęzi o postaci napięciowej (rys. a),
należącej do obwodu z wszystkimi gałęziami sprowadzonymi do
postaci napięciowej (rys. a’), można – nawiązując do ogólnych
zależności (4.27b) i (4.27c) – wyrazić następująco:
a)
I
j
E
j
R
j
U
j
g
g
∑
∑
I
=
I
=
G
×
E
'
+
G
×
E
, (4.28)
j
jk
jk
k
jj
j
k
=
1
k
=
1
a’)
k
¹
j
I
k
’
E
k
’
R
k
gdzie:
G
jk
–
j
-te konduktancje międzygałęziowe (między
j
-tą ga-
łęzią zewnętrzną i
k
-tymi gałęziami wewnętrznymi),
G
jj
– kon-
duktancja wejściowa,
E
k
’ – zastępcze źródłowe napięcia
k
-tych
gałęzi,
E
j
– źródłowe napięcie
j
-tej gałęzi.
Zgodnie z konwencją strzałkowania
I
j
i
E
j
gałęzi normalnej, otrzymuje się dodatnią wartość
G
jj
.
Wartości
G
jk
są natomiast dodatnie lub ujemne, zależnie od zwrotów
j
-tej i
k
-tych gałęzi.
Wartości konduktancji
G
jk
i
G
jj
wyznacza się doświadczalnie lub oblicza na podstawie schematu
obwodu, badając efekty działania pojedynczych źródeł:
U
k
I
I
jk
jj
G
=
G
=
,
. (4.29a, b)
jk
jj
E
'
E
k
j
Wzór (4.28) odnosi się do obwodu, w którym nie występują pseudogałęzie (jak w metodzie oczko-
wej), zatem wyznaczanie konduktancji
G
jk
dotyczy tylko takiej sytuacji.
Jeśli wewnątrz obwodu występują pseudogałęzie, to – jak wiadomo – można „przenieść” źródła
pseudogałęzi do niektórych gałęzi, co nie wpływa na prąd w gałęzi zewnętrznej. Napięcia
E
k
’ są
wtedy zastępczymi sem przekształconych
k
-tych gałęzi, zaś
G
jk
– konduktancjami między
j
-tą gałę-
zią zewnętrzną i przekształconymi
k
-tymi gałęziami wewnętrznymi
Jeśli
I
j
= 0 oraz
E
j
= –
U
j
.0
(rys. b), to
b)
g
I
j
=
0
E
j
R
j
I
j
=
0
∑
¹
G
×
E
'
=
G
×
U
, (4.30)
jk
k
jj
j
.
układ
gałęzi
wewn.
układ
gałęzi
wewn.
k
=
1
º
k
j
U
j.
0
U
j.
0
wobec czego zależność (4.28) przyjmuje postać
U
+
E
(
)
j
.
j
I
=
G
×
U
+
E
=
, (4.31a)
c)
j
jj
j
.
0
j
U
j.
0
E
j
R
I
j
R
jj
jj
przy czym rezystancja wejściowa (rys. c):
1
R
=
. (4.31b)
jj
G
jj
d)
Wprowadza się wielkości (rys. d):
- rezystancję wewnętrzną źródła zastępczego
E
j
E
R
w
I
j
R
j
U
R.j
R
=
R
-
R
, (4.32a)
U
j
w
jj
j
- źródłowe napięcie (sem) źródła zastępczego
E
=
U
, (4.32b)
j
.
E
+
E
j
co pozwala napisać
I
=
oraz
U
=
R
×
I
-
E
. (4.33a, b)
j
j
j
j
j
R
+
R
w
j
E
Gdy
j
-ta gałąź jest pasywna, to
I
=
oraz
U
=
U
=
R
×
I
. (4.34a, b)
j
j
R
.
j
j
j
R
+
R
w
j
[ Pobierz całość w formacie PDF ]