ep09r4, Politechnika Poznańska, Mechatronika, Semestr 03, Elektrotechnika - wykłady
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
4. Rozwi
Ģ
zywanie obwodów pr
Ģ
du stałego
73
Wykład IX.
RÓWNANIA RÓWNOWAGI WZGL
Ħ
DEM NAPI
ĦĘ
.
METODA OCZKOWA. METODA W
Ħ
ZŁOWA
Równania równowagi wzgl
ħ
dem napi
ħę
Zakładaj
Ģ
c,
Ň
e w obwodzie nie wyst
ħ
puj
Ģ
gał
ħ
zie bezrezystancyjne (tzn. s
Ģ
tylko takie, jakie poka-
zano poni
Ň
ej na rysunku, przy czym
E
k
oraz
I
Ņ
r.k
mog
Ģ
by
ę
równe zeru), zapisano zale
Ň
no
Ļ
ci (4.10a)
i (4.10b):
E
k
R
k
;
G
k
I
k
U
=
R
×
I
−
E
,
k
= 1, .. ,
g
,
k
k
k
k
I
Ņ
r.k
U
=
R
×
I
−
E
,
g
×
g
g
×
1
g
×
1
U
k
g
×
1
w nast
ħ
puj
Ģ
cej postaci:
I
k
=
G
k
×
(
U
k
+
E
k
)
=
G
k
×
U
k
+
G
k
×
E
k
,
k
= 1, .. ,
g
, (4.15a)
I
=
G
×
U
+
G
×
E
, (4.15b)
g
×
1
g
×
1
g
×
g
g
×
1
g
×
g
przy czym konduktancja
k
-tej gał
ħ
zi
G
=
1
, za
Ļ
macierz konduktancji gał
ħ
ziowych
k
R
k
G
=
[ ]
G
kk
g
×
g
=
diag
[
G
1
,
G
2
,
...
,
G
g
]
. (4.15c)
g
×
g
W zwi
Ģ
zku z tym, wyra
Ň
enia (4.7c) i (4.7d):
Ã
g
×
Ã
g
+
h
l
I
(
−
l
)
×
I
,
i
= 1, ... ,
m
,
ik
k
ik
Ņ
r
.
k
k
=
1
k
=
1
l
×
I
=
−l
c
×
I
Ņ
r
.
1
c
,
m
×
g
g
×
1
m
×
(
g
+
h
)
(
g
+
h
)
×
przybieraj
Ģ
formy:
Ã
g
Ã
g
Ã
+
h
l
×
G
×
U
=
(
−
l
)
×
G
×
E
+
(
−
l
)
×
I
,
i
= 1, ... ,
m
, (4.16a)
ik
k
k
ik
k
k
ik
Ņ
r
.
k
k
=
1
k
=
1
k
=
1
l
×
G
×
U
=
(
−
l
)
×
G
×
E
+
(
−
l
c
)
×
I
Ņ
r
.
1
c
(4.16b)
m
×
g
g
×
g
g
×
1
g
×
g
g
×
1
m
×
g
m
×
(
g
+
h
)
(
g
+
h
)
×
albo
l
×
G
×
U
=
(
−l
)
×
G
×
E
+
I
w
, (4.16c)
m
×
g
g
×
g
g
×
1
g
×
g
g
×
1
m
×
g
m
×
1
gdzie
I
w
=
−l
c
×
I
Ņ
r
.
1
c
jest wektorem wydajno
Ļ
ci
Ņ
ródeł pr
Ģ
dowych do w
ħ
złów (4.12d).
m
×
1
m
×
(
g
+
h
)
(
g
+
h
)
×
d
1
0
,
tworz
Ģ
razem układ
g
równa
ı
z
g
niewiadomymi, którymi s
Ģ
napi
ħ
cia gał
ħ
ziowe (równania obwodu
wzgl
ħ
dem napi
ħę
). Równania te mo
Ň
na zapisa
ę
ł
Ģ
cznie, w dwóch równowa
Ň
nych postaciach, jako:
-
pełne równanie równowagi wzgl
ħ
dem napi
ħę
× =
U
×
×
n
×
Ä
Ç
l
×
Ç
0
×
Ô
Ç
−
l
×
Ç
−
l
c
×
È
Ø
È
Ø
È
Ø
È
Ø
m
×
g
m
×
g
m
×
g
Å
Õ
m
×
(
g
+
h
)
G
U
G
E
I
.
.
.
.
×
+
.
.
.
.
×
=
.
.
.
.
×
×
+
×
, (4.17a)
.
.
.
.
Å
Õ
Ņ
r
.
1
c
È
Ø
È
Ø
È
Ø
È
Ø
0
d
0
0
g
×
g
g
×
1
g
×
g
g
×
1
Å
Õ
(
g
+
h
)
×
È
Ø
È
Ø
È
Ø
È
Ø
Æ
É
n
×
g
Ù
É
n
×
g
Ù
Ö
É
n
×
g
Ù
É
n
×
(
g
+
h
)
Ù
g
Wyra
Ň
enia (4.16b) lub (4.16c), wraz z napi
ħ
ciowym równaniem równowagi (4.9b):
n g g
Å
Õ
74
Wykład IX
Å
Ç
l
×
Ç
0
×
Õ
Ç
−l
c
×
m
×
g
m
×
g
m
×
(
g
+
h
)
I
'
G
U
È
Ø
È
Ø
È
Ø
albo
....
×
+
....
×
=
×
, (4.17b)
....
Å
Õ
Ņ
r
.
c
È
Ø
È
Ø
È
Ø
0
d
0
Å
g
×
g
Õ
g
×
1
(
g
+
h
)
×
1
È
Ø
È
Ø
È
Ø
Æ
É
n
×
g
Ù
É
n
×
g
Ù
Ö
É
n
×
(
g
+
h
)
Ù
-
skrócone równanie równowagi wzgl
ħ
dem napi
ħę
È
G
i
Ø
Ç
I
w
'
×
m
×
g
m
×
1
È
Ø
×
U
=
, (4.18)
.....
......
È
Ø
È
Ø
d
g
×
1
0
È
Ø
È
Ø
É
n
×
g
Ù
É
n
×
1
Ù
gdzie:
-
wektor zast
ħ
pczych
Ņ
ródłowych pr
Ģ
dów gał
ħ
zi i pseudogał
ħ
zi
Ç
I
Ņ
r
'
×
g
×
1
I
'
È
Ø
=
.....
, (4.19a)
Ņ
r
.
c
È
Ø
I
(
g
+
h
)
×
1
È
Ø
Ņ
r
.
h
É
Ù
h
×
1
-
wektor zast
ħ
pczych
Ņ
ródłowych pr
Ģ
dów gał
ħ
ziowych
I
Ņ
r
'
=
G
×
E
+
I
Ņ
r
, (4.19b)
g
×
1
g
×
g
g
×
1
g
×
1
-
macierz konduktancji gał
ħ
ziowych w w
ħ
złach
(skierowanych od w
ħ
złów)
G
i
=
l
, (4.19c)
G
m g
g g
×
m g
×
×
-
wektor zast
ħ
pczych wydajno
Ļ
ci
Ņ
ródeł do w
ħ
złów
, tj. zast
ħ
pczych
Ņ
ródłowych pr
Ģ
dów dopływa-
j
Ģ
cych do w
ħ
złów (wydawanych do w
ħ
złów)
I
w
'
=
(
−
l
)
×
G
×
E
+
(
−
l
c
)
×
I
Ņ
r
.
c
=
(
−
G
i
)
×
E
+
I
w
. (4.19d)
g
×
g
g
×
1
g
×
1
m
×
m
×
g
m
×
(
g
+
h
)
(
g
+
h
)
×
1
m
×
g
m
×
albo
I
w
'
=
(
−
l
)
×
G
×
E
+
I
w
=
−
l
c
×
I
Ņ
r
.
c
'
. (4.19e)
m
×
1
m
×
g
g
×
g
g
×
1
m
×
1
m
×
(
g
+
h
)
(
g
+
h
)
×
1
Wektor
I
Ņ
r
’
zło
Ň
ony z
g
elementów odnosi si
ħ
do zast
ħ
pczych
gał
ħ
zi o postaci pr
Ģ
dowej (rys. obok). Wyra
Ň
a on warto
Ļ
ci pr
Ģ
-
dów
Ņ
ródłowych gał
ħ
zi danych w postaci pr
Ģ
dowej albo otrzy-
manych po sprowadzeniu gał
ħ
zi o postaci napi
ħ
ciowo-pr
Ģ
dowej
lub napi
ħ
ciowej do postaci pr
Ģ
dowej.
Trzeba wyja
Ļ
ni
ę
,
Ň
e:
- elementy macierzy
G
i
s
Ģ
konduktancjami
k
-tych gał
ħ
zi, przy czym opatrujemy je znakiem
„plus”, je
Ļ
li pr
Ģ
d
I
k
wypływa z
i
-tego w
ħ
zła, a znakiem „minus”, je
Ļ
li pr
Ģ
d
I
k
dopływa do
i
-tego w
ħ
-
zła,
I
k
’
G
k
I
Ņ
r.k
’
U
k
- elementy wektora
I
w
’
s
Ģ
zast
ħ
pczymi
Ņ
ródłowymi pr
Ģ
dami, dopływaj
Ģ
cymi do kolejnych w
ħ
-
złów, tzn. sumami zast
ħ
pczych
Ņ
ródłowych pr
Ģ
dów gał
ħ
ziowych i pr
Ģ
dów pseudogał
ħ
zi, dopływaj
Ģ
-
cych do w
ħ
złów (zgodnie z umow
Ģ
, napi
ħ
cia
Ņ
ródłowe i pr
Ģ
dy
Ņ
ródłowe maj
Ģ
taki sam zwrot jak
pr
Ģ
dy w rezystancjach gał
ħ
ziowych).
Ä
Ô
È
Ø
È
Ø
È
Ø
Ç
×
È
Ø
È
Ø
1
1
4. Rozwi
Ģ
zywanie obwodów pr
Ģ
du stałego
75
Przykład. Obwód – z poprzednich przykładów – jest pokazany na rys. a; graf obwodu – na rys. b.
Na schemacie obwodu zaznaczono napi
ħ
cia gał
ħ
ziowe. Obliczane s
Ģ
ich warto
Ļ
ci, a nast
ħ
pnie –
warto
Ļ
ci pr
Ģ
dów gał
ħ
ziowych.
a)
b)
I
1
10
W
I
2
10
W
10
W
I
4
1
2
1
1
2
2
I
3
140
V
U
1
U
2
180
V
U
4
24
W
U
3
1
2
4
3
4,6
A
1
2
W
ħ
zły niezale
Ň
ne (
1
,
2
) i oczka niezale
Ň
ne (1, 2) wybrano tak, jak poprzednio.
ń
ródło pr
Ģ
dowe i
gał
ĢŅ
z pr
Ģ
dem
I
4
s
Ģ
jednym obiektem (w obwodzie nie ma pseudogał
ħ
zi, wi
ħ
c
h
= 0).
I.
Wyznaczono macierze incydencji, macierz konduktancji gał
ħ
ziowych oraz wektory
Ņ
ródłowych
napi
ħę
i pr
Ģ
dów gał
ħ
ziowych:
l
g
=
Ç
-
1
-
1
1
0
×
,
l
=
l
,
d
g
=
Ç
1
0
1
0
×
,
É
Ù
É
Ù
0
1
0
-
1
c
0
1
1
1
m
×
m
×
(
g
+
h
)
m
×
g
n
×
È
È
È
È
È
È
È
È
1
10
0 0 0
Ø
Ø
Ø
Ø
Ø
Ø
Ø
Ø
140
0
0
1
10
0 0
Ç
×
Ç
×
È
Ø
È
Ø
0
0
I
g
I
I
g
G
×
=
,
g
=
È
Ø
,
=
È
Ø
,
=
.
1
24
0
È
Ø
Ņ
r
È
Ø
Ņ
r
.
c
Ņ
r
0
0
0 0
×
×
(
g
+
h
)
×
1
g
×
1
È
Ø
È
Ø
180
4,6
É
Ù
É
Ù
1
10
É
0 0 0
Ù
Ze wzoru (4.19b) wyznaczono wektor zast
ħ
pczych
Ņ
ródłowych pr
Ģ
dów gał
ħ
ziowych
Ç
1
0
0
0
×
È
Ø
10
Ç
140
×
Ç
0
×
Ç
14
×
È
1
Ø
0
0
0
È
Ø
È
Ø
È
Ø
È
Ø
0
0
0
10
I
'
I
=
=
×
È
Ø
+
È
Ø
=
È
Ø
.
È
Ø
Ņ
r
.
c
Ņ
r
.
c
È
Ø
È
Ø
È
Ø
1
0
0
0
È
Ø
0
0
0
g
×
1
g
×
1
È
Ø
È
Ø
È
Ø
24
180
4,6
22,6
É
Ù
É
Ù
É
Ù
È
Ø
1
È
0
0
0
Ø
É
10
Ù
Zapisano równanie równowagi w pełnej formie (4.17b):
Ä
Ç
1
0
0
0
×
Ô
È
Ø
Å
10
Õ
È
Ø
Ç
-
1
-
1
1
0
×
Ç
0
0
0
0
×
Ç
U
×
Ç
1
1
-
1
0
×
Ç
14
×
Å
Õ
1
1
È
Ø
Å
È
Ø
0
0
0
È
Ø
Õ
È
Ø
È
Ø
È
Ø
0
1
0
-
1
10
0
0
0
0
U
0
-
1
0
1
0
È
Ø
È
Ø
È
Ø
2
È
Ø
È
Ø
Å
×
+
Õ
×
=
×
.
È
Ø
Å
0
0
0
0
1
1
0
1
0
Õ
È
U
Ø
0
0
0
0
0
È
Ø
È
0
0
0
Ø
È
Ø
È
3
Ø
È
Ø
È
Ø
0
0
0
0
È
24
Ø
0
1
1
1
U
0
0
0
0
22,6
É
Ù
É
Ù
É
Ù
É
Ù
É
Ù
Å
Õ
4
È
Ø
1
Å
Õ
È
0
0
0
Ø
Æ
É
10
Ù
Ö
Ç
×
Å
Õ
76
Wykład IX
Po wykonaniu działa
ı
(wyniki mo
Ň
na odczyta
ę
ze schematu, zgodnie z podanymi wy
Ň
ej regułami):
Ç
−
1
−
1
1
0
×
È
Ø
10
10
24
Ç
14
×
G
g
I
m
'
=
,
=
,
È
Ø
É
Ù
w
1
1
22,6
È
Ø
m
×
0
0
−
×
1
É
10
10
Ù
otrzymano równanie w skróconej formie (4.18):
Ç
−
1
−
1
1
0
×
È
10
10
24
Ø
Ç
U
×
Ç
14
×
Ç
U
×
Ç
-
132
×
1
1
È
Ø
È
Ø
È
Ø
È
Ø
È
Ø
1
1
U
22,6
U
47
È
Ø
È
Ø
È
Ø
È
Ø
È
Ø
0
0
−
×
2
=
, którego rozwi
Ģ
zaniem jest
g
=
2
=
V.
10
10
È
U
Ø
È
0
Ø
È
U
Ø
È
132
Ø
È
Ø
3
×
1
3
È
Ø
È
Ø
1
0
1
0
U
0
U
-
179
È
Ø
É
Ù
É
Ù
É
Ù
É
Ù
4
4
È
0
1
1
1
Ø
É
Ù
II.
Zapisano równania równowagi – wg schematu obwodu – na podstawie wzorów: (4.16a) i (4.9a),
pami
ħ
taj
Ģ
c o przeciwnych zwrotach pr
Ģ
du i napi
ħ
cia gał
ħ
ziowego (sumowanie napi
ħę
przy prze-
ciwnym zwrocie obiegu oczka):
−
1
U
−
1
U
+
1
U
=
1
×
140
,
1
2
3
10
10
24
10
1
U
−
U
1
=
1
×
180
+
4
,
2
4
10
10
10
U
1
+
U
3
=
0
,
U
.
Równanie macierzowe, scalaj
Ģ
ce powy
Ň
szy układ równa
ı
, odpowiada podanemu wy
Ň
ej równaniu
skróconemu.
III.
Obliczono warto
Ļ
ci pr
Ģ
dów gał
ħ
ziowych, wg wzoru (4.15a):
I
1
=
G
1
(
U
1
+
E
1
) = 0,8 A;
I
2
=
G
2
U
2
= 4,7 A;
I
3
=
G
3
U
3
= 5,5 A;
I
4
=
G
4
(
U
4
+
E
4
) = 0,1 A.
Metoda oczkowa (dla obwodów ze
Ņ
ródłami napi
ħ
ciowymi)
Przedmiotem rozwa
Ň
a
ı
s
Ģ
obwody liniowe pr
Ģ
du stałego, w
których nie ma idealnych
Ņ
ródeł pr
Ģ
dowych, tzn. nie wyst
ħ
puj
Ģ
pseudogał
ħ
zie, a wszystkie aktywne gał
ħ
zie (gał
ħ
zie zast
ħ
pcze)
maj
Ģ
posta
ę
napi
ħ
ciow
Ģ
(rys. obok).
Dla ujednolicenia zapisu wszystkie pr
Ģ
dy gał
ħ
ziowe i
Ņ
ródłowe napi
ħ
cia gał
ħ
ziowe s
Ģ
traktowane
jako pr
Ģ
dy oraz
Ņ
ródłowe napi
ħ
cia zast
ħ
pczych gał
ħ
zi o postaci napi
ħ
ciowej.
Umy
Ļ
liwszy sobie takie pr
Ģ
dy
I
ol
(
l
= 1, ... ,
n
), zwane
pr
Ģ
dami oczkowymi
, które płyn
Ģ
wokół
n
oczek niezale
Ň
nych, przedstawia si
ħ
pr
Ģ
dy gał
ħ
ziowe jako sumy lub ró
Ň
nice niektórych z tych pr
Ģ
-
dów, stosownie do incydencji oraz zwrotów gał
ħ
zi i oczek:
2
+
U
3
+
U
4
=
0
I
k
’
E
k
’
R
k
U
k
k
I
'
=
a
×
I
o
, (4.20a)
g
×
g
×
n
d
lk
=
1
n
×
1
l
gdzie
wektor pr
Ģ
dów oczkowych
[ ]
S
I
kl
=
I
k
>
0
R
k
I
o
=
I
ol
n
×
1
. (4.20b)
n
×
1
I
ol
a
wyznacza si
ħ
wg tych sa-
mych reguł, co elementy macierzy incydencji
d (chodzi o incy-
dencj
ħ
oczek i gał
ħ
zi oraz o zwrot obiegu oczka i zwrot incy-
dentnej z nim gał
ħ
zi). Wyja
Ļ
niono to obok na rysunku.
I
kl
=
I
ol
=a
kl
×
I
ol
; a
kl
=
1
a
kl
=
d
lk
Elementy macierzy przekształcenia
4. Rozwi
Ģ
zywanie obwodów pr
Ģ
du stałego
77
Macierz incydencji d okre
Ļ
la przynale
Ň
no
Ļę
gał
ħ
zi do oczek. Macierz przekształcenia a okre
Ļ
la
przynale
Ň
no
Ļę
oczek do gał
ħ
zi. Przestawione s
Ģ
wi
ħ
c wska
Ņ
niki elementów, co oznacza,
Ň
e ma-
cierz a jest macierz
Ģ
transponowan
Ģ
macierzy d :
Ä
Ô
T
a
=
Å
Æ
d
Õ
Ö
=
d
T
, (4.20c)
g
×
n
n
×
g
g
×
n
zatem
I
'
=
d
T
×
I
o
. (4.20d)
g
×
g
×
n
n
×
1
Napi
ħ
ciowe równanie równowagi (4.11b):
n g g g g
d
× × = ×
R I
d
E
, po podstawieniach:
I
=
I
’
,
×
×
×
1
n g g
×
×
E
=
E
’
i (4.20d), przyjmuje posta
ę
:
d
×
R
×
d
T
×
I
=
d
×
E
1
, (4.21a)
o
n
×
g
g
×
g
g
×
n
n
×
g
g
×
g
×
1
co mo
Ň
na zapisa
ę
jako
R
o
×
I
o
=
E
o
'
, (4.21b)
n
×
n
n
×
1
n
×
1
gdzie:
-
macierz rezystancji oczkowych (własnych i wzajemnych)
R
= × ×
d d
R
T
=
R
×
d
, (4.21c)
T
o
l
n g g g g n
×
×
×
n g
g n
×
n n
×
×
- okre
Ļ
lona wzorem (4.12c)
macierz rezystancji gał
ħ
ziowych w oczkach
R
l
=
d
, (4.21d)
R
n g
×
n g g g
×
×
- okre
Ļ
lony wzorem (4.13e)
wektor zast
ħ
pczych
Ņ
ródłowych napi
ħę
gał
ħ
ziowych
E
1
'
=
E
+
R
×
I
Ņ
r
. (4.21e)
g
×
g
×
1
g
×
g
g
×
1
- okre
Ļ
lony wzorem (4.13f)
wektor
Ņ
ródłowych napi
ħę
(sem) oczkowych
'
E
o
'
=
d
×
E
. (4.21f)
n
×
g
g
×
1
n
×
1
Dzi
ħ
ki przekształceniu (4.20a), liczba rozwi
Ģ
zywanych równa
ı
obwodu zmniejsza si
ħ
z
g
równa
ı
równowagi (
g
– liczba gał
ħ
zi) do
n
równa
ı
oczkowych (
n
– liczba oczek niezale
Ň
nych).
Macierz rezystancji oczkowych (symetryczna)
[ ]
R
o
=
R
jl
n n
×
, (4.22)
n n
×
gdzie:
j
,
l
– numery oczek,
składa si
ħ
z nast
ħ
puj
Ģ
cych elementów:
- le
ŇĢ
cych na głównej przek
Ģ
tnej (
j
=
l
)
rezystancji własnych oczek R
jj
, które s
Ģ
sumami rezy-
stancji gał
ħ
zi wchodz
Ģ
cych w skład
j
-tych oczek,
- le
ŇĢ
cych poza przek
Ģ
tn
Ģ
główn
Ģ
, symetrycznie po obu jej stronach (
j
¹
l
),
rezystancji wzajem-
nych oczek R
jl
=
R
lj
, których warto
Ļ
ci bezwzgl
ħ
dne s
Ģ
równe warto
Ļ
ciom rezystancji gał
ħ
zi wcho-
dz
Ģ
cych jednocze
Ļ
nie w skład
j
-tych i
l
-tych oczek, natomiast znaki zale
ŇĢ
od zgodno
Ļ
ci obiegania
tych wspólnych rezystancji w rozwa
Ň
anych oczkach, tzn. przy zgodnym zwrocie obiegu w oczkach
j
-tym i
l
-tym
R
jl
=
R
lj
s
Ģ
dodatnie, a przy przeciwnym – ujemne.
Warto przypomnie
ę
,
Ň
e reprezentantami wybranych oczek niezale
Ň
nych obwodu s
Ģ
oczka podsta-
wowe grafu obwodu
, tworzone przez konary drzewa i jego ci
ħ
ciwy. Pr
Ģ
dy oczkowe s
Ģ
wobec tego
pr
Ģ
dami w gał
ħ
ziach obwodu reprezentowanych przez ci
ħ
ciwy. Pr
Ģ
dy w gał
ħ
ziach obwodu repre-
zentowanych przez konary s
Ģ
natomiast liniow
Ģ
kombinacj
Ģ
pr
Ģ
dów oczkowych, zwykle sum
Ģ
dwóch z nich, albo ró
Ň
nic
Ģ
.
1
[ Pobierz całość w formacie PDF ]