energia kinetyczna 7.4, MTR, Mechanika, Mechanika
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
7.4.1. Energia kinetyczna układu punktów materialnych
EnergiÄ… kinetycznÄ…
punktu materialnego o masie m, poruszajÄ…cego siÄ™ z
prędkością
v
, nazywamy połowę iloczynu masy punktu i kwadratu jego prędkości:
E
2
=
.
mv
2
Dla układu n punktów materialnych o masach m
k
poruszajÄ…cych siÄ™
z prędkością
v
k
energia kinetyczna będzie równa sumie energii kinetycznych
poszczególnych punktów materialnych:
∑
n
m
v
2
k
1
∑
n
E
=
k
=
m
v
2
k
. (7.75)
2
2
k
k
=
1
k
=
1
Podobnie jak w przypadku krętu układu punktów materialnych (7.3.2),
prędkość bezwzględną
v
k
każdego punktu materialnego rozłożymy na prędkość
unoszenia
v
C
, wywołaną ruchem postępowym ruchomego układu współrzędnych
o początku w środku masy C względem układu nieruchomego x, y, z,
i prędkość względną
v
Ck
względem układu ruchomego (rys. 7.17):
v
+
k
=
v
C
v
Ck
.
Po podstawieniu tej zależności do wzoru (7.75) oraz przedstawieniu kwadratu
prędkości w postaci iloczynu skalarnego
v
2
k
=
v
â‹…
k
v
k
otrzymamy:
1
∑
n
1
∑
n
( ) ( )
E
=
m
v
â‹…
v
=
m
v
+
v
â‹…
v
+
v
=
2
k
k
k
2
k
C
Ck
C
Ck
k
=
1
k
=
1
1
∑
n
(
)
=
=
m
v
2
C
+
2
v
â‹…
v
+
v
2
Ck
2
k
C
Ck
k
=
1
1
∑
n
∑
n
1
∑
n
=
v
2
C
m
+
v
â‹…
m
v
+
m
v
2
Ck
. (a)
2
k
C
k
Ck
2
k
k
=
1
k
=
1
k
=
1
x , y , z . Wiadomo jednakże, że
pęd jest równy iloczynowi masy całkowitej i prędkości środka masy (7.44), która w
stosunku do ruchomego układu odniesienia ′ ′ ′
x , y , z jest równa zeru. Zatem
x, y, z
′ ′ ′
Drugi wyraz po prawej stronie powyższego równania jest równy zeru, ponieważ
występująca w nim suma jest pędem układu punktów materialnych w jego ruchu
względem ruchomego układu współrzędnych ′ ′ ′
 ∑
=
m
k
v
Ck
=
0
.
k
1
Ostatni wyraz jest energią kinetyczną układu punktów materialnych w jego ruchu
względem ruchomego układu odniesienia ′ ′ ′
x, y, z :
1
∑
=
n
E
=
m
v
2
Ck
. .)
c
2
k
k
1
Po oznaczeniu masy całkowitej rozpatrywanego układu materialnego przez
∑
=
n
m
=
m
k
k
1
równanie (a) przyjmuje postać:
E +
=
E
1
mv
2
C
. .)
C
2
Zależność (7.77) nosi nazwę
twierdzenia Koeniga
.
Energia kinetyczna układu punktów materialnych jest równa energii tegoż
układu w jego ruchu względem środka masy oraz energii kinetycznej masy
całkowitej poruszającej się z prędkością środka masy.
n
 7.4.2. Energia kinetyczna bryły
W celu wyznaczenia energii kinetycznej bryły o masie m poruszającej się
ruchem ogólnym postąpimy podobnie jak przy wyznaczaniu krętu bryły (p. 7.3.3).
W bryle myślowo wydzielimy element masy dm (rys. 7.18) poruszający się z
prędkością zgodną ze wzorem (5.32):
v
=
v
C
+
ω
×
r
′
. )
Energia kinetyczna tego elementu
dE
=
1
v
â‹…
v
dm
,
2
a energia bryły jest równa całce względem całej masy z tego wyrażenia:
E
=
1
∫
â‹…
v
v
dm
. )
2
m
Po podstawieniu do wzoru (c) prędkości w postaci (b) otrzymamy:
E
=
1
∫
( ) ( )
v
+
ω
×
r
′
â‹…
v
+
ω
×
r
′
dm
=
2
C
C
m
=
1
∫
v
2
C
dm
+
∫
v
â‹…
( ) ( ) ( )
dm
2
ω
×
r
′
dm
+
1
∫
ω
×
r
′
â‹…
ω
×
r
′
. (d)
2
C
m
m
m
Po przekształceniu wyrażeń podcałkowych w drugiej i trzeciej całce do postaci:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
v
C
â‹…
ω
×
r
′
=
v
C
×
ω
â‹…
r
′
,
[ ]
ω
×
r
′
â‹…
ω
×
r
′
=
ω
â‹…
r
′
ω
×
r
′
oraz wyłączeniu przed całki
v
C
i ω, jako wielkości niezależnych od zmiennych
całkowania
x , y , z
′ ′ ′
, wzór (d) możemy zapisać:
E
=
1
v
2
C
∫
dm
+
( )
v
×
ω
â‹…
∫
r
′
dm
+
1
ω
â‹…
∫
r
′
( )
ω
×
r
′
dm
. (e)
2
C
2
m
m
m
Pierwsza całka jest masą bryły, druga momentem statycznym względem środka
masy, a trzecia krętem bryły w ruchu względem środka masy (7.62), czyli
m
=
∫
dm
,
∫
r
′
dm
=
0
oraz
k
C
=
∫
r
′
( )
×
r
′
dm
.
m
m
m
Po uwzględnieniu powyższych zależności we wzorze (e) otrzymujemy:
ω
E
=
k
1
ω
. .)
â‹…
+
1
mv
2
C
2
C
2
Pierwszy wyraz w powyższym wzorze jest energią kinetyczną bryły w jej
chwilowym ruchu obrotowym względem środka masy:
E
=
1
ω
â‹…
k
.
.)
C
2
C
Zatem energię kinetyczną bryły możemy przedstawić w postaci identycznej ze
wzorem (7.77):
EE=+
1
2
mv
2
. .)
Jest to
twierdzenie Koeniga
dla bryły.
Energia kinetyczna bryły w ruchu ogólnym jest sumą energii kinetycznej bryły w
jej chwilowym ruchu obrotowym względem środka masy i energii kinetycznej masy
całkowitej poruszającej się z prędkością środka masy.
Aby obliczyć energię E
C
we wzorze (7.79), przedstawimy iloczyn skalarny za
pomocą współrzędnych wektorów ω i
k
C
danych w układzie ruchomym
x, y, z
:
E
=
1
ω
â‹…
k
=
(
1
ω
k
+
ω
k
+
ω
k
)
.
C
2
C
2
x
′
C
′
y
′
C
′
z
′
C
′
Po podstawieniu w tym wzorze współrzędnych krętu danych wzorami (7.65)
i uporządkowaniu wyrazów energię kinetyczną bryły w jej ruchu względem środka
masy możemy przedstawić w postaci:
E
=
1
(
I
ω
2
x
+
I
ω
2
y
+
I
ω
2
z
)
−
C
2
x
′
′
y
′
′
z
′
′
−
D
x
y
ω
x
′
ω
y
′
+
D
y
z
′
ω
y
′
ω
z
′
+
D
z
′
x
′
ω
z
′
ω
x
′
)
(7.81)
Zatem, podobnie jak w przypadku krętu
k
C
, do obliczenia energii kinetycznej
bryły w jej ruchu względem środka masy musimy znać wszystkie osiowe i
dewiacyjne momenty bezwładności.
Gdy osie ′ ′ ′
E
=
1
(
I
ω
2
x
+
I
ω
2
y
+
I
ω
2
z
)
. (7.82)
C
2
x
′
′
y
′
′
z
′
′
′ ′ ′
(
′
′
′
x, y, z są głównymi centralnymi osiami bezwładności, momenty
dewiacyjne znikają, a wzór (7.81) upraszcza się do postaci:
 Jeżeli ruch bryły jest ruchem obrotowym wokół stałej osi obrotu, np. l, z
prędkością kątową ω, to energia ruchu obrotowego
ω
A
v
A
=
, (7.83)
I
2
2
l
R
r
v
C
gdzie I
l
jest momentem bezwładności
względem osi obrotu l.
C
Przykład 7.11.
Kołowrót o masie
m
1
= 5m i promieniach r oraz R = 1,5r
toczy się bez poślizgu małym obwodem
po poziomej listwie (rys. 7.17). Åšrodek
masy C tego kołowrotu znajduje się na
osi symetrii obrotowej i ma stałą
prędkość
v
C
. Na duży obwód nawinięto
linkę, na której końcu zawieszono
ciężarek o masie m
2
= m. Promień
bezwładności kołowrotu względem osi symetrii prostopadłej do płaszczyzny
rysunku jest równy . Obliczyć energię kinetyczną tego układu.
S
m
2
v
C
v
A
v
2
Rys. 7.21. Wyznaczenie energii kinetycznej
kołowrotu
i
C
RozwiÄ…zanie
. Energia kinetyczna układu jest równa sumie energii kinetycznej
kołowrotu E
1
poruszającego się ruchem płaskim i energii kinetycznej ciężarka E
2
poruszającego się ruchem postępowym:
E +
=
E
1
E
2
.
Wzór na energię kinetyczną kołowrotu, zgodnie z równaniem (7.80) wynikającym
z twierdzenia Koeniga, po uwzględnieniu zależności (7.83) ma postać:
E
=
1
I
ω
2
+
1
m
v
, (a)
1
2
C
2
1
C
gdzie moment bezwładności kołowrotu względem osi symetrii obrotowej
I
C
=
m
1
i
2
C
=
5
mi
2
C
. )
Energia kinetyczna ciężarka
E
=
1
m
v
2
2
=
1
mv
2
2
. )
2
2
2
2
1
E ω
[ Pobierz całość w formacie PDF ]