ex-2013-1, Algebra Liniowa
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Algebra liniowa IS
Egzamin 8.02.2013, termin pierwszy
1. (4 pkty)
Podac definicje grupy i ciala.
Niech S :={z2C : z
4
= 1}, tzn. S ={1,−1, i,−i}. Pokazac, ze{S,·}, gdzie·jest zwyklym
mnozeniem liczb zespolonych, jest grupa przemienna.
2. (6 pktow)
Podac postac trygonometryczna liczby zespolonej i reguly mnozenia, dzielenia i potegowania
liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej. Omowic znajdowanie pierwiastow liczb ze
spolonych.
(a) Przedstawic w postaci trygonometrycznej i algebraicznej wyrazenie
p
3)
9
(1−i)
12
(1−i
.
(b) Znalezc pierwiastki zespolone trzeciego stopnia z liczby−1.
Wynik podac w postaci
algebraicznej.
3. (4 pkty)
Podac definicje przestrzeni liniowej nad cialem liczbowym. Znalezc baze podprzestrzeni R
3
zdefiniowanej przez V :={(s−t, u, s−t+ u); s, t, u2R}. Zapisac ta podprzestrzen w postaci
V ={(x, y, z) : ax + by + cz + d = 0}z odpowiednio dobranymi a, b, c i d.
4. (4 pkty)
W bazie{(0, 1, 0), (1, 1, 0), (1, 0, 1)}wektor V ma wspolrzedne (3, 2, 1). Sprawdzic, czy zbior
wektorow{(0, 1,−1), (1, 0, 2) (0, 1, 1)}jest baza i, jezeli tak, znalezc wspolrzedne wektora v
w nowej bazie.
5. (4 pkty)
Podac definicje przksztalcenia liniowego A : V!V
′
, jadra przeksztalcenia liniowego i obrazu
przeksztalcenia liniowego. Znalezc przeksztalcenie liniowe f : R
3
!R
3
wiedzac, ze
f ((1, 1, 1)) = (2, 1, 2),
f ((1, 1, 0)) = (0, 1, 0),
f ((1, 0, 0)) = (3, 1, 5).
Znajac postac prze
ksztalcenia znalezc f ((0, 0, 1)) i f (3, 2, 1)).
1
6. (4 pkty)
Co to jest rzad macierzy? Znalezc rzad macierzy
2
3
−1−2 3
−1 0 1
2 4−6
−3−1
4
5
.
4
7. (4 pkty)
Co to jest macierz odwrotna do danej macierzy kwadratowej? Znalezc macierz odwrotna do
2
3
1 0−1
−1−1
4
5
.
2
0
2−1
Sprawdzic, czy otrzymana macierz jest rzeczywiscie odwrotna do podanej macierzy.
8. (3 pkty)
Obliczyc wyznacznik macierzy
1
2
3
4
5
1
0
4
5
6
.
1
2
0
5
6
1
2
3
0
6
1
2
3
4
0
9. (4 pkty)
Rozwiazac uklad rownan korzystajac z metody eliminacji Gaussa
x + 2y + 3z = 0.
2x + 3y + z = 4
3x + 2y + z = 4
10. (4 pkty)
2
3
1
0
1
4
5
i sprawdzic, czy wektory wlasne
Obliczyc wartosci i wektory wlasne macierzy
0−1
0
1
0
1
sa ortogonalne.
11. (3 pkty)
Metoda GramaSchmidta utworzyc zbior ortonormalny wektorow ze zbioru{x
1
, x
2
}, gdzie
x
1
= (0, 1, 1), x
2
= (1, 1, 1).
2
[ Pobierz całość w formacie PDF ]