essey, Studia, Semestr IV, Projekt WojWoj, Projekt
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Model Blacka-Scholesa
„ Srednie giełdowe odzwierciedlaj a
wszystko za wyj atkiem działa n Pana Boga ”
I zasada Dow
1
Rafał Ciesielski
2
Instytut Fizyki Teoretycznej
Uniwersytet Warszawski
Streszczenie
W pracy zaprezentujemy model Blacka-Scholesa, który jako element Inzynierii Finansowej od-
grywa niebagateln a role w efektywnym zarz adzaniu ryzykiem. Krótko przesledzimy tło histo-
ryczne, którego konsekwencj a było powstanie wyzej wymienionego modelu, a zaprezentowane
przykłady przybliz a jego zastosowania praktyczne. Dwaj jego twórcy, Robert C. Merton oraz
Myron Scholes, zostali w roku 1997 uhonorowani Nagrod a Nobla w dziedzinie ekonomii.
1
Charles H. Dow, załozyciel firmy Dow Jones & Company, która do dzis wydaje „The Wall Street Journal”.
2
email:ciesiel@fuw.edu.pl, Copyright c
°
Rafał Ciesielski
Spis tresci
1 Historia
1
2 A moze grzane wino
3
3 Zarz adzanie ryzykiem
5
3.1 Rozkład logarytmiczno-normalny
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
3.1.1 Załozenia
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
3.1.2 Parametry
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
3.2 Przykład
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
4 Model Blacka-Scholesa
7
4.1 Załozenia
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
4.2 Wzory wyceny opcji
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
4.3 Własnosci wzorów Blacka-Scholesa
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
4.3.1
S
!
¥
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
!
0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
4.3.3
T
!
0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
4.4 Przykład
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
s
5 Podsumowanie
12
1 Historia
Zanim blizej przyjrzymy sie instrumentom pochodnym i modelowi „Blacka-Scholesa”, spójrz-
my na tło historyczne. Przedstawiaj ac pokrótce wydarzenia, które doprowadziły do powstania
Inzynierii Finansowej
3
, a dokładniej jej fragmentu jakim jest model „Blacka-Scholesa”, autor
pragnie zaznaczyc, iz nie jest ekspertem z dziedziny ekonomii, a ograniczony zasób czasu i
forma eseju narzuciły pewne skróty myslowe. W celu bardziej szczegółowego poznania oma-
wianych zagadnie n autor odsyła do literatury [
1
], [
2
], [
3
], [
4
], [
5
], [
6
], [
7
].
Historycznie, [
6
], instytucje finansowe wywodz a sie ze sredniowiecznych jarmarków i ofert
kupna i sprzedazy zawieranych pomiedzy kupuj acym a sprzedaj acym. Z czasem osobisty kon-
takt kupuj acego ze sprzedaj acym został wyparty przez osoby upowaznione do zawierania kon-
traktów, agentów - posredników, tzw. maklerów
4
.
Pierwsze kontrakty terminowe pojawiły sie w XVII wieku, na giełdzie w Amsterdamie (za-
łozonej w 1608 roku). Były to umowy pomiedzy kupuj acymi a sprzedaj acymi towar, który po-
winien byc dostarczony do odbiorcy w przyszłosci
po cenie ustalonej w momencie zawarcia
kontraktu
.
3
Inzynieria Finansowa, [
7
], to umiejetnosc projektowania, konstruowania i wdrazania innowacji finansowych
w dziedzinie nowoczesnego zarz adzania finansami. Umozliwia optymalny wybór metody finansowania działalnosci
i efektywne
zarz adzanie ryzykiem
, silnie wsparte przez zaawansowane metody wyceny instrumentów pochodnych
i modelowania ryzyka, a takze przez nowoczesn a technologie informatyczn a.
4
Makler, XVII wiek, pierwsze regulacje prawne dotycz ace zawodu maklera okresliło w 1667r Kupieckie Dyrek-
torium w Zurychu.
1
4.3.2
Celem zawierania kontraktów terminowych, [
5
], było zgromadzenie funduszy na biez ac a
działalnosc na poczet przyszłych zysków. Najlepiej to widac na przykładzie produktów rol-
nych. Farmer d azył do zdobycia funduszy na biez ac a działalnosc w okresie zasiewów, a na
ewentualne zyski mógł liczyc w okresie zbiorów. Przy czym jego dochody były uzaleznione
od chwilowej sytuacji na rynku. To znaczy w latach wyj atkowego urodzaju ceny płodów rol-
nych mogły spasc ponizej granicy opłacalnosci oraz pojawiał sie problem ze zbytem, natomiast
podczas lat nieurodzaju mógł liczyc
5
podaz.
W podobnej sytuacji znajdowali sie kupuj acy, dla nich lata urodzaju oznaczały spadek cen
za nabywane towary, ale w latach nieurodzaju pojawiały sie problemy ze znalezieniem dostaw-
ców, i duze zyski w przypadku posiadania tegoz zboza.
Tak wiec obie grupy starały sie zminimalizowac wpływ waha n cenowych zawieraj ac kon-
trakty terminowe, umawiaj ac sie, za jaka cene i ile danego towaru zostanie dostarczone. Taki
sposób postepowania nie eliminował jednak ryzyka zwi azanego ze zmian a ceny produktu.
Jak widzimy, nieprzypadkowo kontrakty terminowe najwczesniej pojawiły sie na rynku rol-
nym. Pierwsza giełda powstała w Chicago i była odpowiedzi a na rozchwiany rynek produktów
rolnych.
Pomimo ryzyka, jakie to ze sob a wi azało, kupcy zaakceptowali idee nabywania zboza z
wyprzedzeniem,
forward
, czyli przed jego fizyczn a dostaw a. Transakcje te gwarantowały od-
powiedni zapas zboza do odsprzedazy, co miało niebagatelne znaczenie w latach nieurodzaju.
Jednak kupcy cały czas ponosili ryzyko, ze zapłac a zbyt wysok a cene za dostarczony towar, a
tym samym ponios a strate odsprzedaj ac je pózniej na rynku.
Prób a rozwi azania tego problemu, czy raczej zmniejszenia ryzyka zwi azanego z wahaniami
cen, byli tak zwani fałszywi kupcy,
fauxmerchants
, którzy oferowali kupuj acym drugi kon-
trakt
forward
, w którym zobowi azywali sie do kupna tego samego ziarna po cenie, na któr a
ewentualne spadki cen rynkowych nie miałyby wpływu. Liczyli oni oczywiscie, ze cena ziarna
wzrosnie a tym samym osi agn a zysk.
Ostatecznie funkcja „fałszych kupców”, którzy byli zainteresowani wył acznie ekonomicz-
nymi skutkami transakcji, stała sie profesj a. A oni sami zaczeli działac w ramach powstałej w
1859 roku „Chicago Board of Trade (CBOT)”. Giełda w Chicago działała jako efektywny rynek
terminowy, osi agaj ac dojrzałosc z chwil a utworzenia izby rozliczeniowej.
Problemy zwi azane z wycen a kontraktów zbozowych, były zblizone do problemów wyce-
ny kontraktów terminowych w innych działach gospodarki. W pózniejszych latach tworzono
kontrakty
futures
, by umozliwic prowadzenie transakcji zabezpieczaj acych w energetyce, ban-
kowosci, przemysle metali szlachetnych, na rynkach walutowych, ect.
Równolegle do rynku transakcji terminowych rozwijał sie rynek transakcji opcyjnych
6
. Na
pocz atku lat siedemdziesi atych został utworzony centralny rynek obrotu opcjami „Chicago Bo-
ard Options Exchange (CBOT)”. Powstanie nowej giełdy było inspirowane ide a, iz instrumenty
pochodne mog a wyjsc poza rynki tradycyjnych towarów. Wejscie instrumentów pochodnych na
rynek papierów wartosciowych nast apilo gdy „Chicago Board of Trade (CBOT)” zaoferowała
pierwsze kontrakty
futures
na papiery wartosciowe. Podobnie jak w innych przypadkach opcje
i kontrakty
futures
na papiery wartosciowe tworzono w celu ograniczenia ryzyka wynikaj acego
z niekorzystnych zmian na rynku, ale równiez dopuszczalne było wykorzystanie spekulacyjne.
Pocz atek podejscia matematycznego, „matematyki finansowej” datujemy na rok 1946, [
6
],
5
Jesli oczywiscie nalezał do w askiego grona producentów, których nie dotkneła kleska.
6
Opcja, [
7
], jest umow a miedzy nabywc a (posiadaczem) a sprzedawc a (wystawc a) daj ac a prawo kupna (opcje
kupna) lub sprzedazy (opcja sprzedazy) instrumentu bazowego przed lub w ustalonym dniu w przyszłosci po okre-
slonej cenie w zamian za opłate. Prawo zwi azane z opcj a konczy sie w terminie wygasniecia. Opcja jest kontraktem
terminowym.
2
na spore dochody, poniewaz popyt znacznie przewyzszał
to znaczy na moment ukazania sie ksi azki Clarence’a H. Richardsona pt.: „Financial Mathema-
tica” która zawierała deterministyczn a teorie instrumentów finansowych, wycene obligacji oraz
stochastyczne podejscie do modeli ubezpieczeniowych.
Co prawda rynek papierów wartosciowych doczekał sie pierwszego modelu stochastycz-
nego juz w roku 1900, za spraw a pracy doktorskiej Louisa Bachelier. Do opisu cen akcji na
giełdzie zastosował on procesy arytmetycznego ruchu Browna.
Formuła Bacheliera opierała sie na 2 podstawowych załozeniach:
²
stopa procentowa jest zerowa,
²
ceny akcji mog a byc ujemne.
Rozszerzeniem modelu Bacheliera była teoria wyprowadzona niezaleznie przez Paula Samu-
elsona i M.F.M Osborna. tzw.: „geometryczny ruch Browna”. Dzieki niemu stało sie mozliwe
obliczenie biez acej ceny papieru wartosciowego
S
t
:
S
t
=
S
0
e
µt
+
s
B
t
;
(1)
gdzie
S
0
oznacza cene papieru wartosciowego w chwili
t
=
0,
µ
współczynnik wzrostu,
s
współ-
czynnik zmiennosci, a
B
t
jest współczynnikiem zwi azanym z ruchami Browna.
W roku 1973 Fischer Black i Mayron Scholes zaproponowali model rynku w postaci dwóch
równa n:
1.
równania deterministycznego i opisuj acego wartosci obligacji lub stan rachunku banko-
wego ze stał a stop a procentow a,
2.
stochastycznego równania rózniczkowego, opisuj acego biez ac a cene akcji,
który pozwalał obliczyc nie tylko sprawiedliw a cene opcji ale równiez
uwzglednic strategie
zabezpieczaj ac a
. Model ów został w 1997 roku uhonorowany Nagrod a Nobla, w dziedzinie
ekonomii [
2
]. Nalezy wspomniec, ze nad wyzej wymienion a teori a wraz z Fischerem Blackiem
i Mayronem Scholesem pracował równiez Robert C. Merton. Orginalne prace, wyróznione Na-
grod a Nobla, znajduj a sie w [
1
]. Nagrode otrzymali Robert Merton oraz Myron Scholes. Fischer
Black zmarł w roku 1995. Z racji ograniczonej formy eseju, nie przedstawimy pełnego matema-
tycznego wyprowadzenia i dowodu Modelu Blacka-Scholesa. Natomiast w rodziale „Własnosci
wzorów Blacka-Scholesa”, (
4.3
), pokazemy przejscia graniczne, które upewniaj a nas o prawi-
dłowosci wzorów (
7
), (
8
), i załoze n poczynionych przez twórców.
2 A moze grzane wino
Spróbujmy zastanowic sie nad sensem stosowania modelu „Balcka-Scholesa” oraz jemu po-
dobnych modeli które powstały z modyfikacji załoze n poczynionych przez Fischera Blacka i
Myrona Scholesa
7
. Skłania nas do tego aparat matematyczny zastosowany w modelu , wzory
(
7
) , (
8
) , (
9
) , (
10
) . Moze po prostu nie warto sie go uczyc, i uznac powyzszy model za czysto
akademicki przykład „próby” zastosowania matematyki i fizyki w ekonomii, a „zaoszczedzony”
czas poswiecic na spotkanie z przyjaciółmi przy przysłowiowym „grzanym winie
8
”.
(
czas
)
oraz µ
=
µ
(
czas
)
s a funkcjami czasu, lub modyfikowali model tak aby
opisywał akcje spółek wypłacaj acych dywidende.
8
Autor posiada doskonały i sprawdzony przepis na w.w. „grzane wino”.
=
s
3
7
Badacze rezygnowali z czesci załozen poczynionych przez Fischera Blacka i Myrona Scholesa, i tak na przy-
kład przyjeto załozenie, iz
s
Instrumenty pochodne oraz model „Balcka-Scholesa” bed acy ich czesci a, pozwalaj a na za-
stosowanie odpowiednich strategii zabezpieczaj acych. Oto kilka przykładów, [
5
] , [
6
] do czego
moze prowadzic niedocenienie niebezpiecze nstw zwi azanych z zastosowaniem instrumentów
pochodnych w firmach:
²
Rok 1993 Metallgsellschaft AG, strata 1,8 miliada dolarów renomowanej niemieckiej
firmy na kontraktach forward i futures na rope naftow a, [
6
].
²
Rok 1994, Procter & Gamble, strata 102 milionów dolarów ,[
5
],
²
Rok 1994, Gibson Greetings, strata 23 milionów dolarów, [
5
],
²
Rok 1994, kalifornijski powiat Orange Country, upadłosc po poniesieniu straty w wy-
sokosci
¼
1.7 miliarda dolarów, strata na obligacjach komunalnych i hipotecznych. Po-
wodem były zbyt ryzykowne transakcje skarbnika powiatu Boba Citrona, który grał na
znizke stóp procentowych. Wykorzystuj ac tzw. „dzwignie finansow a
9
” doprowadził do
zwielokrotnienia strat, [
6
].
²
Rok 1995, bank „Barings’s Bank”, jedna z najbardziej spektakularnych upadłosci, po
stracie 1.3 miliarda dolarów na opcjach i kontraktach futures na indeks Nikkei dokony-
wanych przez Nicka Leesona. Sprawozdanie z przebiegu dochodzenia przed Izb a Gmin
mozna znalezc w [
5
]. Był to jeden z najstarszych i ciesz acych sie najlepsz a renom a ban-
ków angielskich.
²
Rok 1996 Sumitomo, strata , zródła podaj a od 1.8 ,[
5
], do 2.6, [
6
], miliarda dolarów
japo nskiego banku inwestycyjnego na handlu miedzi a. Straty spowodował swoj a działal-
nosci a makler Yasuo Hamanaki, kupował on znaczne ilosci miedzi na rynku gotówko-
wym i próbował manipulowac cenami, i zarabiac na kontraktach futures i wystawianiu
pozagiełdowych opcji sprzedazy.
²
Rok 1997 Yamaichi Securities, strata 2.1 miliarda dolarów z powodu ukrywania poza
bilansem operacji i złych kredytów. Całosc zako nczyła sie upadkiem czwartego co do
wielkosci domu maklerskiego w Japonii oraz powaznymi problemami finansowymi in-
stytucji i spółek zwi azanych z grupa Yamaichi, [
6
].
²
Rok 1997 Rz ad Belgi, strata 1.2 miliarda dolarów, [
5
].
²
Rok 1997 National Westminster Bank strata 143 milionów dolarów, [
5
].
Jak widzimy, błedne jest przekonanie, iz na rynku instrumentów pochodnych ponosz a straty
tylko niedoswiadczeni i nierozwazni inwestorzy. Straty dotykaj a równiez powaznych instytucji
finansowych jakimi w swiecie współczesnych finansów s a banki, czy rz ady pa nstw.
Dane zamieszczone powyzej dobitnie pokazuj a, jak waznym elementem w ekomonii s a
instrumenty pochodne i do czego moze prowadzic lekcewazenie, czy niedocenianie ich roli.
Dostrzegamy równiez jak istotn a ich czesci a moze byc model „Balcka-Scholesa”, który jak
powiedzielismy wczesniej, pozwala obliczyc nie tylko sprawiedliw a cene opcji, ale równiez
uwzglednic strategie zabezpieczaj ac a.
9
Jest to tylko przykład którym autor nie bedzie sie zajmował w dalszej czesci, zainteresowanych odsyła do
lektury np. [
6
]
4
[ Pobierz całość w formacie PDF ]