f-wiel-zm, Matematyka (PL), Analiza matematyczna
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
‚
WICZENIAZANALIZYMATEMATYCZNEJ
ZADANIA
FUNKCJEWIELUZMIENNYCH
1.Zbada¢zbie»no–¢ci¡gu:
a)a
n
=(
1
n
,(−1)
n
),b)b
n
=(
n
p
n,
1
n
,ln
n
n+1
).
2.Uzupe“ni¢:
1
{(x,y):x
2
+y
2
<2}
zbi
ó
r ograniczonyotwartydomkniÆ’ty
1
R
2
1
{(x,y):x
2
+y
2
6
2}
1
{(x,y):x
2
+y
2
>2}
1
{(x,y):1
6
x
2
+y
2
<2}
1
{(x,y):x+y=1}
3.Wyznaczy¢inarysowa¢naturalnedziedzinypodanychfunkcji.Czys¡tozbiory
ograniczone,otwarte,domkniÆ’te?
a)f(x,y)=
p
xsiny, b)f(x,y)=arcsin
p
y−
p
x, c)f(x,y)=ln(
p
x+
p
y).
4.Obliczy¢granice,je–liistniej¡:
a)lim
(x,y)!(0,0)
x
x+y
,b)lim
(x,y)!(0,0)
xy
x
2
+y
2
,c)lim
(x,y)!(0,0)
(xy)
2
sin(xy)
x
2
+y
2
,
d)lim
(x,y)!(0,0)
f(x,y),gdzef(x,y)=
x
,x6=0
0 ,x=0
.
5.Znale„¢zbi
ó
rpunkt
ó
w,wkt
ó
rychfunkcjaf:
R
2
−!
R
okre–lonawzorem:
p
x
2
+y
2
,x
>
0
2 ,x<0
f(x,y)=
jestci¡g“a.
RACHUNEKR
Ó›
NICZKOWYFUNKCJIWIELUZMIENNYCH
6.Obliczy¢pochodnecz¡stkowepierwszegorzƒdufunkcji:
a)f(x,y)=arccos
x
y
,b)f(x,y,z)=x
y
−z
x
.
7.Obliczy¢zde
nicjipochodnecz¡stkowefunkcji:
a)f(x,y)=
3
p
x
3
−y
3
wpunkcie(x
0
,y
0
)=(0,0);
(
x
3
+y
x
2
+y
2
+z
2
,(x,y,z)6=(0,0,0)
0 ,(x,y,z)=(0,0,0)
b)f(x,y,z)=
wpunkcie(x
0
,y
0
,z
0
)=(0,0,0).
8.Niech
(
xy(x
2
−y
2
)
x
2
+y
2
,(x,y)6=(0,0)
f(x,y)=
0 ,(x,y)=(0,0)
.
Zbada¢,czy
@
2
j
@x@y
(0,0)=
@
2
j
@y@x
(0,0).
1
9.Zbada¢r
ó
»niczkowalno–¢funkcji
a)f(x,y)=x
2
−y
2
wpunkcie(x
0
,y
0
)=(1,−2);
(
xy
p
x
2
+y
2
,(x,y)6=(0,0)
0 ,(x,y)=(0,0)
b)f(x,y)=
wpunkcie(x
0
,y
0
)=(0,0).
pierwszegorzÆ’duwzglÆ’demxiyfunkcjiz:z=f(u,v)=e
uv
,u=ln
p
x
2
+y
2
,
v=arctg
x
y
.
11.Obliczy¢zde
nicjipochodn¡kierunkow¡funkcjif(x,y)=
p
x
2
+y
2
wpunkcie
(x
0
,y
0
)=(0,0)wkierunkuwektora~v=(
1
2
,−
2
).
12.Obliczy¢gradientipochodn
¡
kierunkow¡funkcjif(x,y)=sinxcosywpunkcie
(0,)wkierunku~v=(−
1
2
,
2
).
13.Znale„¢ekstremafunkcji
a)f(x,y)=3x
3
+3x
2
y−y
3
−15x;b)f(x,y)=3(x−1)
2
+4(y+2)
2
;
c)f(x,y)=x
3
+3xy
2
−51x−24y;d)f(x,y)=x
3
+y
3
−3xy.
14.Zbada¢,czypodanefunkcjemaj¡ekstremalokalne:
a)f(x,y)=2−
p
3x
2
+4y
2
,b)f(x,y)=x
8
−y
4
.
15.Znale„¢warto–¢najwiƒksz¡inajmniejsz¡funkcjif(x,y)=x
2
+y
2
−xy+x+yw
tr
ó
jk¡ciedomkniƒtymograniczonymprostymix=0,y=0,y=−x−3.
16.Znale„¢warto–¢najwiƒksz¡inajmniejsz¡funkcjif(x,y)=2xywkoledomkniƒtym
D={(x,y):x
2
+y
2
1}.
17.Obliczy¢pochodn¡f
0
funkcjiy=f(x)danejr
ó
wnaniemy
3
−4xy+x
2
=0.
18.Znale„¢ekstremafunkcjiuwik“anej
a)y=f(x)danejr
ó
wnaniemy
4
−8xy−4y+8x
2
=0;
b)z=f(x,y)danejr
ó
wnaniem5x
2
+5y
2
+5z
2
−2xy−2xz−2yz−72=0.
19.Korzystaj¡czmetodyLagrange’aznale„¢punkty,wkt
ó
rychfunkcjaf(x,y)=xy
mo»emie¢ekstremumwarunkoweprzywarunkux
2
+y
2
=2.
2
10.Korzystaj¡czregu“yr
ó
»niczkowaniafunkcjiz“o»onejobliczy¢pochodnecz¡stkowe
p
3
p
3
Â
[ Pobierz całość w formacie PDF ]